Зачем нужен фазовый спектр

Agilent. Основы анализа спектра

Введение

Цель данной статьи — сформировать базовые знания о супергетеродинных анализаторах спектра и рассказать о недавних достижениях в развитии их возможностей.
В самых общих чертах анализатор спектра можно описать как частотно-избирательный вольтметр, реагирующий на амплитуду и настроенный так, чтобы отображать среднеквадратичное значение синусоидальной волны. Важно осознавать, что анализатор спектра не является измерителем мощности, несмотря на то, что он способен напрямую отображать значение мощности. Если нам известен какой-нибудь параметр синусоидальной волны (например, пиковое или среднее значение) и известно сопротивление, через которое мы измеряем это значение, мы можем настроить наш вольтметр на отображение мощности. С преимуществами цифровой технологии, современные анализаторы спектра обладают куда более широкими возможностями. В данной книге будут рассмотрены простейшие анализаторы спектра, а также множество дополнительных возможностей, предоставленных развитием цифровой технологии и цифровой обработки сигналов.

Частотная область против временной области
Прежде чем начать подробно рассматривать анализатор спектра, зададимся вопросом: «А что же такое вообще спектр, и зачем нам его измерять и анализировать?» Обычной и естественной системой отсчета для нас является время. Мы замечаем, когда происходит то или иное событие. Это включает и события электрического характера. Можно использовать осциллограф и наблюдать мгновенное значение величины какого-то электрического явления (или любого другого явления, переведенного в вольты посредством надлежащего преобразователя) в зависимости от времени. Иными словами, мы используем осциллограмму для наблюдения формы сигнала во временной области.
Теория Фурье 1 гласит, что любое электрическое явление во временной области состоит из одной или нескольких синусоидальных волн с соответствующими частотами, амплитудами и фазами. То есть можно преобразовать сигнал во временной области в его эквивалент в частотной области. Измерения в частотной области способны показать, сколько энергии имеется на каждой конкретной частоте. При надлежащей фильтрации такой сигнал, как на Рис. 1-1, может быть разложен на отдельные синусоидальные волны, или спектральные составляющие, которые затем можно оценить независимо друг от друга. Каждая такая волна описывается амплитудой и фазой. Если сигнал, который мы хотим исследовать, — периодический (как в нашем случае), то по теории Фурье составляющие его синусоидальные волны будут разнесены в частотной области на 1/Т, где Т – это период сигнала 2 .

сложный сигнал во временной области

Рисунок 1-1. Сложный сигнал во временной области

Некоторые измерения требуют получения полной информации о сигнале – частоты, амплитуды и фазы. Такого рода анализ называется векторным анализом сигнала и рассматривается в документе Agilent Application Note 150-15, Vector Signal Analysis Basics. Современные анализаторы спектра способны проводить различного рода векторные измерения сигнала. Однако, другая обширная группа измерений не включает определения фазовых соотношений между синусоидальными составляющими. Такой тип анализа сигнала называется спектральным анализом. Поскольку спектральный анализ более прост для понимания и одновременно необычайно полезен на практике, мы сперва рассмотрим то, как анализаторы спектра осуществляют измерения для спектрального анализа, начиная с Главы 2.
Теоретически, чтобы осуществить преобразование из временной области в частотную область, сигнал должен быть оценен на всем промежутке времени, то есть до ± бесконечности. Однако, на практике мы всегда ограничиваемся каким-то конечным периодом, когда проводим измерение. Преобразование Фурье также может быть осуществлено и из частотной области во временную. В этом случае, опять же, теоретически нам надо знать все спектральные составляющие в диапазоне частот до ± бесконечности. На самом же деле, производя измерения только в той области частот, в которой содержится наибольшая часть энергии сигнала, можно получить вполне приемлемые результаты. При преобразовании Фурье из частотной области очень важно знать фазу индивидуальных составляющих. Например, прямоугольный периодический сигнал, переведенный в частотную область и обратно, может превратиться в пилообразный, если не были зафиксированы фазы.

Что такое спектр?
Так чем же является спектр в контексте нашего обсуждения? Спектр – это набор синусоидальных волн, которые, будучи надлежащим образом скомбинированы, дают изучаемый нами сигнал во временной области. На Рис. 1-1 показана волновая форма сложного сигнала. Давайте предположим, что мы ожидали увидеть чисто синусоидальный сигнал. И хотя форма явно демонстрирует нам, что сигнал не является чистой синусоидой, она не дает определенного ответа на вопрос о причинах данного явления. На Рис. 1-2 показан наш сложный сигнал во временной и в частотной области. В частотной области показана амплитуда для каждой синусоидальной волны в спектре в зависимости от частоты. Как видно, в данном случае спектр состоит лишь из двух волн. Теперь мы знаем, отчего наш сигнал не является чистой синусоидой: в нем содержится еще одна волна, вторая гармоника в нашем случае. Означает ли это, что измерения во временной области можно вообще не проводить? Отнюдь. Временная область является предпочтительной для многих измерений, а для некоторых является единственно возможной. К примеру, только во временной области можно измерить длительность фронта и спада импульса, выбросы и биения.

Связь между временной и частотной областью

Рисунок 1-2. Связь между временной и частотной областью

Для чего измерять спектр?
У частотной области есть свои плюсы в плане измерений. Мы уже видели на Рис. 1-1 и 1-2, что частотная область гораздо удобнее для определения гармонического состава сигнала. Те, кто занимаются беспроводной связью, очень заинтересованы в определении внеполосного и паразитного излучения. Например, сотовые радиосистемы должны проверяться на наличие гармоник несущего сигнала, которые могут вносить помехи в работу других систем, оперирующих на той же частоте, что и гармоники. Инженеры и техники также часто обеспокоены искажением сообщений, транслирующихся с модуляцией несущего сигнала. Интермодуляция третьего порядка (то есть две составляющие сложного сигнала, модулирующие друг друга) может причинить много хлопот, поскольку компоненты искажения могут попасть в интересуемую полосу частот и не будут надлежащим образом отфильтрованы.
Наблюдение за спектром – еще одна важная сторона измерений в частотной области. Государственные регулирующие структуры распределяют различные частоты для различных радио-служб: телевизионное и радиовещание, сотовая связь, связь правоохранительных органов и спасательных служб, а также множество иных организаций и приложений. Крайне важно, чтобы каждая служба работала только на предназначенной для нее частоте и оставалась в пределах выделенной полосы канала. Передатчики и другие излучатели зачастую могут работать на очень близко расположенных соседних частотах. Для усилителей мощности и других компонентов таких систем ключевым параметром для измерения является количество энергии сигнала, просачивающейся в соседние каналы и порождающей интерференцию.
Электромагнитная интерференция (EMI) – это термин, применяемый к нежелательному излучению от преднамеренных и случайных излучателей. Поводом для беспокойства тут служит тот факт, что это нежелательное излучение, будучи передано в эфир или по проводам, может затруднить работу других систем. При разработке и производстве практически любой электрической или электронной продукции необходимо исследовать уровни излучения в зависимости от частоты, и приводить их в соответствие с нормами, устанавливаемыми правительственными органами или индустриальными стандартами. На Рис. с 1-3 по 1-6 показаны некоторые из такого рода измерений.

Тест передатчика на гармонические искажения

Рисунок 1-3. Тест передатчика на гармонические искажения

Радиосигнал GSM и спектральная маска, показывающая границу нежелательных выбросов

Рисунок 1-4. Радиосигнал GSM и спектральная маска, показывающая границу нежелательных выбросов

Двухтоновый тест радиочастотного усилителя мощности

Рисунок 1-5. Двухтоновый тест радиочастотного усилителя мощности

Выбросы излучения и их ограничения по стандарту CISPR11 как часть теста на электромагнитную совместимость

Рисунок 1-6. Выбросы излучения и их ограничения по стандарту CISPR11 как часть теста на электромагнитную совместимость

Типы измерений
Чаще всего анализаторами спектра измеряют частоту, мощность, модуляцию, искажения и шум. Знание спектрального состава сигнала очень важно, особенно в системах с полосой частот ограниченной ширины. Переданная мощность также является важным измеряемым параметром. Слишком малая мощность означает, что сигнал не сможет достичь точки назначения. Слишком большая мощность может быстро истощить заряд батарей, создать искажения и чрезмерно повысить рабочую температуру системы.
Измерение качества модуляции может быть важным для того, чтобы обеспечить нормальную работу системы и быть уверенным в том, что информация передается корректно. Измерения коэффициента модуляции, уровня полосы боковых частот, качества модуляции и заполнения полосы частот – это примеры самых распространенных тестов при аналоговой модуляции. В случае цифровой модуляции измеряются модуль вектора погрешности, дисбаланс IQ, зависимость погрешности фазы от времени и ряд других параметров. Более подробно об этих видах измерений рассказано в документе Agilent Application Note 150-15, Vector Signal Analysis Basics.
В сфере коммуникаций и связи измерение искажений очень важно как для приемников, так и для передатчиков. Излишние гармонические искажения на выходе передатчика могут создавать помехи на других коммуникационных частотах. В блоках предусилителей приемника не должно быть интермодуляции, чтобы избежать перекрестного наложения сигнала. Хороший пример – интермодуляция несущих сигналов кабельного телевидения, которые при распространении по распределительной системе вносят искажения в другие каналы этого же кабеля. Распространенными измерениями искажений являются измерения интермодуляции, гармоник и паразитного излучения.
Часто бывает нужно измерить и шум как сигнал. Любая активная цепь или устройство будет генерировать шум. Измерения коэффициента шума и отношения сигнал/шум (С/Ш) являются важными для описания показателей устройства и его вклада в общие показатели системы.

Виды анализаторов сигнала
Хотя в этом руководстве мы концентрируемся на перестраиваемом супергетеродинном анализаторе спектра, существуют и другие архитектуры. Важный не супергетеродинный тип анализатора – тот, что оцифровывает сигнал во временной области, использует методы цифровой обработки сигнала, выполняет быстрое преобразование Фурье (БПФ) и показывает сигнал в частотной области. Одно преимущество подхода с БПФ в том, что появляется возможность характеризовать одновспышечные явления. Другое – в том, что кроме амплитуды можно измерить и фазу. Однако, БПФ-машины имеют некоторые ограничения в сравнении с супергетеродинными анализаторами спектра, в частности — по частотному диапазону, чувствительности и динамическому диапазону.
Векторные анализаторы сигнала тоже оцифровывают сигнал во временной области, как и БПФ-машины, но их возможности при этом распространяются и на область СВЧ при помощи понижающих преобразователей, включенных перед АЦП. Такие анализаторы позволяют провести быстрые измерения спектра с хорошим разрешением, демодуляцию и расширенный анализ во временной области. Они особенно полезны для описания сложных сигналов – всплесков, переходного или модулированного сигнала в системах связи, телевещания, радиовещания, в сонарах, а также в приложениях ультразвукового зондирования.

1 Жан Батист Фурье, 1768 – 1830, французский математик и физик, открывший, что периодические функции могут быть представлены последовательностью синусов и косинусов.
2 Если же сигнал появляется лишь раз, то его спектральным представлением будет непрерывное множество синусоидальных волн.

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Agilent. Основы анализа спектра — страница 1

Оборудование для производства и ремонта радиоэлектроники

Частотная область против временной области
Прежде чем начать подробно рассматривать анализатор спектра, зададимся вопросом: «А что же такое вообще спектр, и зачем нам его измерять и анализировать?» Обычной и естественной системой отсчета для нас является время. Мы замечаем, когда происходит то или иное событие. Это включает и события электрического характера. Можно использовать осциллограф и наблюдать мгновенное значение величины какого-то электрического явления (или любого другого явления, переведенного в вольты посредством надлежащего преобразователя) в зависимости от времени. Иными словами, мы используем осциллограмму для наблюдения формы сигнала во временной области.
Теория Фурье 1 гласит, что любое электрическое явление во временной области состоит из одной или нескольких синусоидальных волн с соответствующими частотами, амплитудами и фазами. То есть можно преобразовать сигнал во временной области в его эквивалент в частотной области. Измерения в частотной области способны показать, сколько энергии имеется на каждой конкретной частоте. При надлежащей фильтрации такой сигнал, как на Рис. 1-1, может быть разложен на отдельные синусоидальные волны, или спектральные составляющие, которые затем можно оценить независимо друг от друга. Каждая такая волна описывается амплитудой и фазой. Если сигнал, который мы хотим исследовать, — периодический (как в нашем случае), то по теории Фурье составляющие его синусоидальные волны будут разнесены в частотной области на 1/Т, где Т – это период сигнала 2 .

сложный сигнал во временной области

Рисунок 1-1. Сложный сигнал во временной области

Что такое спектр?
Так чем же является спектр в контексте нашего обсуждения? Спектр – это набор синусоидальных волн, которые, будучи надлежащим образом скомбинированы, дают изучаемый нами сигнал во временной области. На Рис. 1-1 показана волновая форма сложного сигнала. Давайте предположим, что мы ожидали увидеть чисто синусоидальный сигнал. И хотя форма явно демонстрирует нам, что сигнал не является чистой синусоидой, она не дает определенного ответа на вопрос о причинах данного явления. На Рис. 1-2 показан наш сложный сигнал во временной и в частотной области. В частотной области показана амплитуда для каждой синусоидальной волны в спектре в зависимости от частоты. Как видно, в данном случае спектр состоит лишь из двух волн. Теперь мы знаем, отчего наш сигнал не является чистой синусоидой: в нем содержится еще одна волна, вторая гармоника в нашем случае. Означает ли это, что измерения во временной области можно вообще не проводить? Отнюдь. Временная область является предпочтительной для многих измерений, а для некоторых является единственно возможной. К примеру, только во временной области можно измерить длительность фронта и спада импульса, выбросы и биения.

Связь между временной и частотной областью

Рисунок 1-2. Связь между временной и частотной областью

Для чего измерять спектр?
У частотной области есть свои плюсы в плане измерений. Мы уже видели на Рис. 1-1 и 1-2, что частотная область гораздо удобнее для определения гармонического состава сигнала. Те, кто занимаются беспроводной связью, очень заинтересованы в определении внеполосного и паразитного излучения. Например, сотовые радиосистемы должны проверяться на наличие гармоник несущего сигнала, которые могут вносить помехи в работу других систем, оперирующих на той же частоте, что и гармоники. Инженеры и техники также часто обеспокоены искажением сообщений, транслирующихся с модуляцией несущего сигнала. Интермодуляция третьего порядка (то есть две составляющие сложного сигнала, модулирующие друг друга) может причинить много хлопот, поскольку компоненты искажения могут попасть в интересуемую полосу частот и не будут надлежащим образом отфильтрованы.
Наблюдение за спектром – еще одна важная сторона измерений в частотной области. Государственные регулирующие структуры распределяют различные частоты для различных радио-служб: телевизионное и радиовещание, сотовая связь, связь правоохранительных органов и спасательных служб, а также множество иных организаций и приложений. Крайне важно, чтобы каждая служба работала только на предназначенной для нее частоте и оставалась в пределах выделенной полосы канала. Передатчики и другие излучатели зачастую могут работать на очень близко расположенных соседних частотах. Для усилителей мощности и других компонентов таких систем ключевым параметром для измерения является количество энергии сигнала, просачивающейся в соседние каналы и порождающей интерференцию.
Электромагнитная интерференция (EMI) – это термин, применяемый к нежелательному излучению от преднамеренных и случайных излучателей. Поводом для беспокойства тут служит тот факт, что это нежелательное излучение, будучи передано в эфир или по проводам, может затруднить работу других систем. При разработке и производстве практически любой электрической или электронной продукции необходимо исследовать уровни излучения в зависимости от частоты, и приводить их в соответствие с нормами, устанавливаемыми правительственными органами или индустриальными стандартами. На Рис. с 1-3 по 1-6 показаны некоторые из такого рода измерений.

Тест передатчика на гармонические искажения

Рисунок 1-3. Тест передатчика на гармонические искажения

Радиосигнал GSM и спектральная маска, показывающая границу нежелательных выбросов

Рисунок 1-4. Радиосигнал GSM и спектральная маска, показывающая границу нежелательных выбросов

Двухтоновый тест радиочастотного усилителя мощности

Рисунок 1-5. Двухтоновый тест радиочастотного усилителя мощности

Выбросы излучения и их ограничения по стандарту CISPR11

Типы измерений
Чаще всего анализаторами спектра измеряют частоту, мощность, модуляцию, искажения и шум. Знание спектрального состава сигнала очень важно, особенно в системах с полосой частот ограниченной ширины. Переданная мощность также является важным измеряемым параметром. Слишком малая мощность означает, что сигнал не сможет достичь точки назначения. Слишком большая мощность может быстро истощить заряд батарей, создать искажения и чрезмерно повысить рабочую температуру системы.
Измерение качества модуляции может быть важным для того, чтобы обеспечить нормальную работу системы и быть уверенным в том, что информация передается корректно. Измерения коэффициента модуляции, уровня полосы боковых частот, качества модуляции и заполнения полосы частот – это примеры самых распространенных тестов при аналоговой модуляции. В случае цифровой модуляции измеряются модуль вектора погрешности, дисбаланс IQ, зависимость погрешности фазы от времени и ряд других параметров. Более подробно об этих видах измерений рассказано в документе Agilent Application Note 150-15, Vector Signal Analysis Basics.
В сфере коммуникаций и связи измерение искажений очень важно как для приемников, так и для передатчиков. Излишние гармонические искажения на выходе передатчика могут создавать помехи на других коммуникационных частотах. В блоках предусилителей приемника не должно быть интермодуляции, чтобы избежать перекрестного наложения сигнала. Хороший пример – интермодуляция несущих сигналов кабельного телевидения, которые при распространении по распределительной системе вносят искажения в другие каналы этого же кабеля. Распространенными измерениями искажений являются измерения интермодуляции, гармоник и паразитного излучения.
Часто бывает нужно измерить и шум как сигнал. Любая активная цепь или устройство будет генерировать шум. Измерения коэффициента шума и отношения сигнал/шум (С/Ш) являются важными для описания показателей устройства и его вклада в общие показатели системы.

Виды анализаторов сигнала
Хотя в этом руководстве мы концентрируемся на перестраиваемом супергетеродинном анализаторе спектра, существуют и другие архитектуры. Важный не супергетеродинный тип анализатора – тот, что оцифровывает сигнал во временной области, использует методы цифровой обработки сигнала, выполняет быстрое преобразование Фурье (БПФ) и показывает сигнал в частотной области. Одно преимущество подхода с БПФ в том, что появляется возможность характеризовать одновспышечные явления. Другое – в том, что кроме амплитуды можно измерить и фазу. Однако, БПФ-машины имеют некоторые ограничения в сравнении с супергетеродинными анализаторами спектра, в частности — по частотному диапазону, чувствительности и динамическому диапазону.
Векторные анализаторы сигнала тоже оцифровывают сигнал во временной области, как и БПФ-машины, но их возможности при этом распространяются и на область СВЧ при помощи понижающих преобразователей, включенных перед АЦП. Такие анализаторы позволяют провести быстрые измерения спектра с хорошим разрешением, демодуляцию и расширенный анализ во временной области. Они особенно полезны для описания сложных сигналов – всплесков, переходного или модулированного сигнала в системах связи, телевещания, радиовещания, в сонарах, а также в приложениях ультразвукового зондирования.

1 Жан Баптист Фурье, 1768 – 1830, французский математик и физик, открывший, что периодические функции могут быть представлены последовательностью синусов и косинусов.
2 Если же сигнал появляется лишь раз, то его спектральным представлением будет непрерывное множество синусоидальных волн.

Фазовый спектр импульсной помехи Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

СИГНАЛ / ИМПУЛЬСНАЯ ПОМЕХА / ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ / АМПЛИТУДНАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ СПЕКТРА / ФАЗОВАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ СПЕКТРА / СПЕКТР ИМПУЛЬСНОЙ ПОМЕХИ / SIGNAL / IMPETUS NOISE / FOURIER TRANSFORM / AMPLITUDE CHARACTERISTICS OF SPECTRUM / PHASE CHARACTERISTICS OF SPECTRUM / IMPETUS NOISE SPECTRUM

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Аршакян Александр Агабегович, Ларкин Евгений Васильевич

Разработана методика определения фазового спектра импульсной помехи при наблюдении импульсного полезного сигнала. Показано, что фазовый спектр импульсной помехи может быть сведен к сумме гармоник со случайной амплитудой и случайной частотой. Получены зависимости, связывающие расположение импульсов помехи в наблюдаемой области сцены и фазовую частотную характеристику спектра.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

PHASE SPECTRUM OF IMPETUS NOISE

The method of impetus noise phase spectrum definition, when impetus effective signal is observed, is worked out. It is shown that a phase spectrum of impetus noise may be reduced to the sum of harmonics with probable amplitudes and probable frequencies. Dependencies which link position of noise impetuses in observed domain of scene and phase frequency characteristic of spectrum are obtained.

Текст научной работы на тему «Фазовый спектр импульсной помехи»

ФАЗОВЫЙ СПЕКТР ИМПУЛЬСНОЙ ПОМЕХИ

А. А. Аршакян, Е.В. Ларкин

Ключевые слова: сигнал, импульсная помеха, преобразование Фурье, амплитудная составляющая спектра, фазовая составляющая спектра, спектр импульсной помехи

Анализ фазовой характеристики сигнала является эффективным инструментарием для обнаружения факта движения объекта по наблюдаемой сцене [1]. Однако, в реальных условиях сигнал, несущий полезную информацию о сцене, сопровождается импульсной помехой, что затрудняет его идентификацию [2, 3]. Поэтому для эффективной настройки датчика движения необходимо иметь математическую модель фазового спектра импульсной помехи.

В самом общем сигнал во временной области и(ґ) может быть представлен его спектральной характеристикой

и(ю) = 3[и(ґ)] = А(ю)- ехр[іф(ю)], (1)

где 3[и(ґ)] — прямое преобразование Фурье [4] сигнала и(ґ); ґ — время; ю —

круговая частота; А(ю) — амплитудная характеристика спектра; ф(ю) — фазовая характеристика спектра; і = 4—1.

Помеха представляет собой серию из N импульсов

где vn (ґ) — п-й импульс.

Каждый импульс представлен его спектральной характеристикой, вследствие чего в целом помеха может быть представлена в виде

К (ш) = ЗИґ )]= Ё Ап (ю)ехр[іф п(ю)], (3)

где Ап(ю) — амплитудная характеристика спектра п-го импульса помехи; фп(ю) — фазовая характеристика п-го импульса помехи.

Если помеха является аддитивной, то сигнал и его спектр имеют вид, соответственно

W (w) = A^exp^^)] + I An ^exp^ n (w)].

В области пространственного аргумента сигнал u (x, y) спектр сигнала представляется в виде

U (wx, wy ) = ^ [u ( x, y )] = A (wx , wy )• exp іФ(Юг , wy ) , (6)

где x, y — пространственные координаты; wx , wy — пространственные круговые частоты, соответствующие координатам x, y; A(wx, wy ) и

Ф (wx , wy ) — амплитудная и фазовая характеристика пространственного

Импульсы помехи при пространственном аргументе представляются в виде

v (x y )= I vn (x, y),

где vn (X, у ) — п-й импульс.

V ( x,y ) I An (wx, wy ) exp іФn (wx, wy )

где An (юx, Юу) — амплитудная характеристика спектра п-го импульса помехи; Фп (юx,Юу ) — фазовая характеристика п-го импульса помехи.

Если помеха является аддитивной, то сигнал и его спектр имеют вид, соответственно

w ( x, y ) = u ( x, y )+ I vn ( ^ y )

W (wx, Wy ) A (w) exp iф(wx, Wy ) + I An (wx , wy ) exp іФn (wx, Wy ) . (10)

В обоих случаях фазовая характеристика спектров сигналов W (w), W (wx, Wy) имеет вид:

A sin Ф + I An sin Ф

A cos Ф+ X An cos Фn

Разделим числитель и знаменатель дроби (6) на A(w), будем иметь:

sin Ф + I an sin Фn

cos Ф+ I an cos Фn

где аи = —^ — отношение уровня и-го импульса помехи к величине полез-

Разложим Фw в ряд Тейлора в окрестностях точки Ф = Фи, а1 = 0,

a n = 0, будем иметь

фw Ы = фЫ + Ian sin[фn Ы-Фu(w)]

для фазового спектра одномерного сигнала, и

Фw (®х,®у ) ф(«X,®у )+ I аи sin[Фи (®х,®у ) Фи (®х,®у )] (14)

для фазового спектра двумерного сигнала.

Вычитая из (13), (14) текущее значение фазы полезного сигнала, получим выражение для фазового спектра помехи одномерного и двумерного сигнала:

ФV Ы= Iаи sm[фи Ы-Фи Ы];

В частном случае полезный сигнал и помеха могут быть описаны функциями Гаусса [5]:

для одномерного сигнала —

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

фv (wx,wy ) I an ^п[фn (wx,wy ) фu (wx,Wy )]. (15)

где Ь, с — параметры, определяющие ширину функции Гаусса; Т, Тп — смещения импульсов относительно начала координат; для двумерного сигнала —

где Х, Хп, Гп — смещения импульсов относительно начала координат.

Спектры несмещенных функций Гаусса имеют нулевой фазовый

Поэтому, в соответствии с теоремой о смещении [4], фазовый сдвиг смещенных гауссианов полностью определяется местоположением центра импульса одномерного/двумерного сигнала.

Сп ехр 1 1 1 п 2 1

= Лп (©)ехр( і©Тп ), Фп (©) = ©Тп ; (25)

(х — X )2 +(у — Г )2 2с 2

> Л (© х, © у )ехр [ і (© хХ + © уГ 1 (©хХ + ©уГ)

> Лп (©х, © у )ехр[ і(©хХ + © уГ )

Подставляя полученные зависимости в (15), получим: фазовый спектр помехи одномерного сигнала —

ФV(©) = Iап зт[ю(Т — Тп)]; (28)

фазовый спектр помехи двумерного сигнала —

Ф V (©х, ©у )= I а и sin [©х (Х — Хи )+©у (Х — Хи )]. (29)

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Вид одномерного и двумерного фазового спектра помехи приведен на рис. 1 а, б соответственно. Фазовый спектр помехи представляет собой набор гармоник, амплитуды и частоты которых являются случайными величинами, и поэтому он имеет вид случайного сигнала.

Рис. 1. Фазовый спектр помехи сигнала а — одномерного, б — двумерного

Спектры, приведенные на рис. 1, были получены путем моделирования при следующих условиях:

а и — случайная величина, распределенная равномерно в интервале

Ти — случайная величина, распределенная по экспоненциальному

закону с показателем, равным 10 с» ;

Хи, Уи — случайные величины, распределенные по экспоненциаль-

ному закону с показателем, равным 1 мм .

1. Ларкин Е.В., Аршакян А.А., Будков С.Н. Использование фазовой составляющей спектра сигнала для идентификации движения // Известия

ТулГУ. Сер. Технические науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 315 — 320.

2. Аршакян А. А., Ларкин Е.В. Определение соотношения сигнал-шум в системах видеонаблюдения // Известия ТулГУ. Сер. Технические науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 168 — 175.

3. Ларкин Е.В., Аршакян А.А., Будков С.Н. Эффективность селекции точечных сигналов, сопровождаемых импульсной помехой // Известия ТулГУ. Сер. Технические науки. Вып. 12, ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 239 — 244.

4. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Физматлит. 2001. 336 с.

5. Ларкин Е.В., Аршакян А. А., Будков С.Н. Математические модели точечных источников сигнала в полярной системе координат // Известия ТулГУ. Сер. Технические науки. Вып. 10. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 163 — 168.

Аршакян Александр Агабегович, канд. техн. наук, elarkin@mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

Ларкин Евгений Васильевич, зав. кафедрой, докт. техн. наук, профессор, elarkin@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

PHASE SPECTRUM OF IMPETUS NOISE A.A. Arshakyan, E. V.Larkin

Key words: signal, impetus noise, Fourier transform, amplitude characteristics of spectrum, phase characteristics of spectrum, impetus noise spectrum.

Arshakyan Alexander Agabegovich, postgraduate, candidate of technical science, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University

Larkin Eugene Vasilyevich, head of chair, doctor of technical science, professor, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University

Спектральный анализ сигналов

Не так давно товарищ Makeman описывал, как с помощью спектрального анализа можно разложить некоторый звуковой сигнал на слагающие его ноты. Давайте немного абстрагируемся от звука и положим, что у нас есть некоторый оцифрованный сигнал, спектральный состав которого мы хотим определить, и достаточно точно.

Под катом краткий обзор метода выделения гармоник из произвольного сигнала с помощью цифрового гетеродинирования, и немного особой, Фурье-магии.

Итак, что имеем.
Файл с отсчетами оцифрованного сигнала. Известно, что сигнал представляет собой сумму синусоид со своими частотами, амплитудами и начальными фазами, и, возможно, белый шум.

количество гармоник в составе сигнала, а для каждой: амплитуду, частоту (далее в контексте числа длин волн на длину сигнала), начальную фазу;
наличие/отсутствие белого шума, а при наличии, его СКО (среднеквадратическое отклонение);
наличие/отсутствие постоянной составляющей сигнала;
всё это оформить в красивенький PDF отчёт ~~с блэкджеком и~~ иллюстрациями.

Будем решать данную задачу на Java.

Матчасть

Как я уже говорил, структура сигнала заведомо известна: это сумма синусоид и какая-то шумовая составляющая. Так сложилось, что для анализа периодических сигналов в инженерной практике широко используют мощный математический аппарат, именуемый в общем «Фурье-анализ». Давайте кратенько разберём, что же это за зверь такой.

Немного особой, Фурье-магии

Не так давно, в 19 веке, французский математик Жан Батист Жозеф Фурье показал, что любую функцию, удовлетворяющую некоторым условиям (непрерывность во времени, периодичность, удовлетворение условиям Дирихле) можно разложить в ряд, который в дальнейшем получил его имя — ряд Фурье.

В инженерной практике разложение периодических функций в ряд Фурье широко используется, например, в задачах теории цепей: несинусоидальное входное воздействие раскладывают на сумму синусоидальных и рассчитывают необходимые параметры цепей, например, по методу наложения.

Существует несколько возможных вариантов записи коэффициентов ряда Фурье, нам же лишь необходимо знать суть.
Разложение в ряд Фурье позволяет разложить непрерывную функцию в сумму других непрерывных функций. И в общем случае, ряд будет иметь бесконечное количество членов.

Дальнейшим усовершенствованием подхода Фурье является интегральное преобразование его же имени. Преобразование Фурье.
В отличие от ряда Фурье, преобразование Фурье раскладывает функцию не по дискретным частотам (набор частот ряда Фурье, по которым происходит разложение, вообще говоря, дискретный), а по непрерывным.
Давайте взглянем на то, как соотносятся коэффициенты ряда Фурье и результат преобразования Фурье, именуемый, собственно, спектром.
Небольшое отступление: спектр преобразования Фурье — в общем случае, функция комплексная, описывающая комплексные амплитуды соответствующих гармоник. Т.е., значения спектра — это комплексные числа, чьи модули являются амплитудами соответствующих частот, а аргументы — соответствующими начальными фазами. На практике, рассматривают отдельно амплитудный спектр и фазовый спектр.

Рис. 1. Соответствие ряда Фурье и преобразования Фурье на примере амплитудного спектра.

Легко видно, что коэффициенты ряда Фурье являются ни чем иным, как значениями преобразования Фурье в дискретные моменты времени.

Однако, преобразование Фурье сопоставляет непрерывной во времени, бесконечной функции другую, непрерывную по частоте, бесконечную функцию — спектр. Как быть, если у нас нет бесконечной во времени функции, а есть лишь какая-то записанная её дискретная во времени часть? Ответ на этот вопрос даёт дальнейшей развитие преобразования Фурье — дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Дискретное преобразование Фурье призвано решить проблему необходимости непрерывности и бесконечности во времени сигнала. По сути, мы полагаем, что вырезали какую-то часть бесконечного сигнала, а всю остальную временную область считаем этот сигнал нулевым.

Математически это означает, что, имея исследуемую бесконечную во времени функцию f(t), мы умножаем ее на некоторую оконную функцию w(t), которая обращается в ноль везде, кроме интересующего нас интервала времени.

Если «выходом» классического преобразования Фурье является спектр – функция, то «выходом» дискретного преобразования Фурье является дискретный спектр. И на вход тоже подаются отсчёты дискретного сигнала.

Остальные свойства преобразования Фурье не изменяются: о них можно прочитать в соответствующей литературе.

Нам же нужно лишь знать о Фурье-образе синусоидального сигнала, который мы и будем стараться отыскать в нашем спектре. В общем случае, это пара дельта-функций, симметричная относительно нулевой частоты в частотной области.

Рис. 2. Амплитудный спектр синусоидального сигнала.

Я уже упомянул, что, вообще говоря, мы рассматриваем не исходную функцию, а некоторое её произведение с оконной функцией. Тогда, если спектр исходной функции — F(w), а оконной W(w), то спектром произведения будет такая неприятная операция, как свёртка этих двух спектров (F*W)(w) (Теорема о свёртке).

На практике это означает, что вместо дельта-функции, в спектре мы увидим что-то вроде этого:

Рис. 3. Эффект растекания спектра.

Этот эффект именуют также растеканием спектра (англ. spectral leekage). А шумы, появляющиеся вследствие растекания спектра, соответственно, боковыми лепестками (англ. sidelobes).
Для борьбы с боковыми лепестками применяют другие, непрямоугольные оконные функции. Основной характеристикой «эффективности» оконной функции является уровень боковых лепестков (дБ). Сводная таблица уровней боковых лепестков для некоторых часто используемых оконных функций приведена ниже.

Оконная функция	Уровень боковых лепестков (дБ)
Окно Дирихле (прямоугольное окно)	-13 дБ
Окно Ханна	-31.5 дБ
Окно Хэмминга	-42 дБ

Основной проблемой в нашей задаче является то, что боковые лепестки могут маскировать другие гармоники, лежащие рядом.

Рис. 4. Отдельные спектры гармоник.

Видно, что при сложении приведённых спектров, более слабые гармоники как бы растворятся в более сильной.

Рис. 5. Чётко видна лишь одна гармоника. Нехорошо.

Другой подход к борьбе с растеканием спектра состоит в вычитании из сигнала гармоник, создающих это самое растекание.
То есть, установив амплитуду, частоту и начальную фазу гармоники, можно вычесть её из сигнала, при этом мы уберём и «дельта-функцию», соответствующую ей, а вместе с ней и боковые лепестки, порождаемые ей. Другой вопрос состоит в том, как же точно узнать параметры нужной гармоники. Недостаточно просто взять нужные данные из комплексной амплитуды. Комплексные амплитуды спектра сформированы по целым частотам, однако, ничто не мешает гармонике иметь и дробную частоту. В этом случае, комплексная амплитуда как бы расплывается между двумя соседними частотами, и точную её частоту, как и другие параметры, установить нельзя.

Для установления точной частоты и комплексной амплитуды нужной гармоники, мы воспользуемся приёмом, широко применяемым во многих отраслях инженерной практики – гетеродинирование.

Посмотрим, что получится, если умножить входной сигнал на комплексную гармонику Exp(I*w*t). Спектр сигнала сдвинется на величину w вправо.
Этим свойством мы и воспользуемся, сдвигая спектр нашего сигнала вправо, до тех пор, пока гармоника не станет ещё больше напоминать дельта-функцию (то есть, пока некоторое локальное отношение сигнал/шум не достигнет максимума). Тогда мы и сможем вычислить точную частоту нужной гармоники, как w₀ – w_гет, и вычесть её из исходного сигнала для подавления эффекта растекания спектра.
Иллюстрация изменения спектра в зависимости от частоты гетеродина показана ниже.

Рис. 6. Вид амплитудного спектра в зависимости от частоты гетеродина.

Будем повторять описанные процедуры до тех пор, пока не вырежем все присутствующие гармоники, и спектр не будет напоминать нам спектр белого шума.

Затем, надо оценить СКО белого шума. Хитростей здесь нет: можно просто воспользоваться формулой для вычисления СКО:

Автоматизируй это

Пришло время для автоматизации выделения гармоник. Повторим ещё разочек алгоритм:

1. Ищем глобальный пик амплитудного спектра, выше некоторого порога k.
1.1 Если не нашли, заканчиваем
2. Варируя частоту гетеродина, ищем такое значение частоты, при которой будет достигаться максимум некоторого локального отношения сигнал/шум в некоторой окрестности пика
3. При необходимости, округляем значения амплитуды и фазы.
4. Вычитаем из сигнала гармонику с найденной частотой, амплитудой и фазой за вычетом частоты гетеродина.
5. Переходим к пункту 1.

Алгоритм не сложный, и единственный возникающий вопрос — откуда же брать значения порога, выше которого будем искать гармоники?
Для ответа на этот вопрос, следует оценить уровень шума еще до вырезания гармоник.

Построим функцию распределения (привет, мат. cтатистика), где по оси абсцисс будет амплитуда гармоник, а по оси ординат — количество гармоник, не превышающих по амплитуде это самое значение аргумента. Пример такой построенной функции:

Рис. 7. Функция распределения гармоник.

Теперь построим еще и функцию — плотность распределения. Т.е., значения конечных разностей от функции распределения.

Рис. 8. Плотность функции распределения гармоник.

Абсцисса максимума плотности распределения и является амплитудой гармоники, встречающейся в спектре наибольшее число раз. Отойдем от пика вправо на некоторое расстояние, и будем считать абсциссу этой точки оценкой уровня шума в нашем спектре. Вот теперь можно и автоматизировать.

Посмотреть на кусок кода, детектирующий гармоники в составе сигнала

public ArrayList detectHarmonics() < SignalCutter cutter = new SignalCutter(source, new Signal(source)); SynthesizableComplexExponent heterodinParameter = new SynthesizableComplexExponent(); heterodinParameter.setProperty("frequency", 0.0); Signal heterodin = new Signal(source.getLength()); Signal heterodinedSignal = new Signal(cutter.getCurrentSignal()); Spectrum spectrum = new Spectrum(heterodinedSignal); int harmonic; while ((harmonic = spectrum.detectStrongPeak(min)) != -1) < if (cutter.getCuttersCount() >10) throw new RuntimeException("Unable to analyze signal! Try another parameters."); double heterodinSelected = 0.0; double signalToNoise = spectrum.getRealAmplitude(harmonic) / spectrum.getAverageAmplitudeIn(harmonic, windowSize); for (double heterodinFrequency = -0.5; heterodinFrequency < (0.5 + heterodinAccuracy); heterodinFrequency += heterodinAccuracy) < heterodinParameter.setProperty("frequency", heterodinFrequency); heterodinParameter.synthesizeIn(heterodin); heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()).multiply(heterodin); spectrum.recalc(); double newSignalToNoise = spectrum.getRealAmplitude(harmonic) / spectrum.getAverageAmplitudeIn(harmonic, windowSize); if (newSignalToNoise >signalToNoise) < signalToNoise = newSignalToNoise; heterodinSelected = heterodinFrequency; >> SynthesizableCosine parameter = new SynthesizableCosine(); heterodinParameter.setProperty("frequency", heterodinSelected); heterodinParameter.synthesizeIn(heterodin); heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()).multiply(heterodin); spectrum.recalc(); parameter.setProperty("amplitude", MathHelper.adaptiveRound(spectrum.getRealAmplitude(harmonic))); parameter.setProperty("frequency", harmonic - heterodinSelected); parameter.setProperty("phase", MathHelper.round(spectrum.getPhase(harmonic), 1)); cutter.addSignal(parameter); cutter.cutNext(); heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()); spectrum.recalc(); > return cutter.getSignalsParameters(); >

Практическая часть

Я не претендую на звание эксперта Java, и представленное решение может быть сомнительным как по части производительности и потреблению памяти, так и в целом философии Java и философии ООП, как бы я ни старался сделать его лучше. Написано было за пару вечеров, как proof of concept. Желающие могут ознакомиться с исходным кодом на GitHub.

Единственной сложностью стала генерация PDF отчёта по результатам анализа: PDFbox ну никак не хотел работать с кириллицей. К слову, не хочет и сейчас.

В проекте использовались библиотеки:
JFreeChart – отображение графиков
PDFBox – построение отчёта
JLatexMath – рендер Latex формул

В итоге, получилась довольно массивная программа (13.6 мегабайт), удобно реализующая поставленную задачу.

Есть возможность как вырезать гармоники вручную, так и доверить эту задачу алгоритму.

Всем спасибо за внимание!

Зачем нужен фазовый спектр