Как вводить число в корень

• При вычислении квадратного корня выражения оставьте пустым верхний левый местозаполнитель оператора квадратного или n-го корня.

• В общем случае любое число имеет n корней n-ой степени. Например, квадратным корнем 4 являются числа 2 и -2. Операторы квадратного и n-го корня возвращают главное значение корня, т. е. то, которое имеет наименьший неотрицательный комплексный аргумент. Поскольку комплексный аргумент 2 равен 0, а 2 равен π , результатом будет 2.

• Операторы квадратного и n-го корня возвращают действительный корень, если такой корень существует. Если x является действительным отрицательным числом, то n-ый корень x будет иметь действительное значение, если n нечетно, и комплексное значение, если n — четно. Чтобы получить главную ветвь n-го корня x , возведите x в степень 1 / n .

Извлечение корней: методы, способы, решения

Справочник

А также пополните свой мозг новыми знаниями, что всегда хорошо и полезно! Приятным бонусом для вас будут задания для отработки материала с ответами, которые вы сможете найти в конце этой статьи. Что значит понятие: «Извлечение корня из числа»?

Определение

Извлечение корня из числа — это нахождение значения корня, т.е. действие, обратное возведению в степень.

Числа b и a равны, ведь при извлечении корня n-ной степени одного из чисел, мы, соответственно, находим и второе.

n — натуральное число, являющиеся степенью корня.
a — подкоренное значение.

При помощи разложения функции в ряд можно показать, что сумма всех натуральных чисел равна:

1/12[18]

Когда следует извлекать корень? Если вы видите, что a можно представить в виде n-ной степени какого-либо числа b, то корень a можно извлечь.

Определение

Квадратный корень из числа — это неизвестное число, которое дает это же число при возведении его в квадрат.

Пример извлечения корня:

√25=5×5 — из этого становится ясно, что квадратный корень числа равен 5.

В обратной ситуации, когда нельзя представить корень n-ной степени из числа a, в виде n-ной степени числа b, корень не извлекается или находится лишь приближенное значение этого корня.

Для этого используют различные виды решений, начиная с калькулятора, заканчивая формулами. Калькулятор хоть и посчитает все вместо нас, но не всегда мы можем его применить. Поэтому важно знать другие варианты нахождения приближенного значения корня.

Способы извлечения корня

Для того, чтобы найти значение корня, существуют такие способы извлечения корня, как:

Применение различных таблиц.
Разложение чисел или выражений на простые множители.
Извлечение корней из дробных чисел.
Извлечение отрицательного корня.
Поразрядное нахождение значения корня.

Они основываются на свойствах корней. Далее рассмотрим таблицы, которые могут помочь в процессе извлечения корней.

Квадраты натуральных чисел

Основной является таблица квадратов натуральных чисел:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Она, пожалуй, самая распространенная среди школьников. Если в какой-то важный момент она вам необходима, но у вас отсутствует к ней доступ, можно воспользоваться несколькими хитростями:

Чтобы быстро возвести в квадрат число, на конце которого 0, можно добавить к нему парочку нулей: 80×80=6400; 30×30=900. Т.е., первые цифры умножаем и дописываем два 0 к этому числу.
Теперь возьмём какое-нибудь число так, чтобы вторая его цифра оканчивалась на 5. Так, например, число 75. Чтобы быстро возвести его в квадрат, прибавьте к первой цифре единицу, из чего получаются цифры 7 и 8.
Умножаем их и приписываем в конец число 25 и получаем конечный результат в виде числа 5625.

Квадратные корни

Вторая таблица — это таблица квадратных корней:

√x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	1,41421	1,73205	2	2,23607	2,44949	2,64575	2,82843	3
1	3,16228	3,31662	3,4641	3,60555	3,74166	3,87298	4	4,12311	4,24264	4,3589
2	4,47214	4,58258	4,69042	4,79583	4,89898	5	5,09902	5,19615	5,2915	5,38516
3	5,47723	5,56776	5,65685	5,74456	5,83095	5,91608	6	6,08276	6,16441	6,245
4	6,32456	6,40312	6,48074	6,55744	6,63325	6,7082	6,78233	6,85565	6,9282	7
5	7,07107	7,14143	7,2111	7,28011	7,34847	7,4162	7,48331	7,54983	7,61577	7,68115
6	7,74597	7,81025	7,87401	7,93725	8	8,06226	8,12404	8,18535	8,24621	8,30662
7	8,3666	8,42615	8,48528	8,544	8,60233	8,66025	8,7178	8,77496	8,83176	8,88819
8	8,94427	9	9,05539	9,11043	9,16515	9,21954	9,27362	9,32738	9,38083	9,43398
9	9,48683	9,53939	9,59166	9,64365	9,69536	9,74679	9,79796	9,84886	9,89949	9,94987

Числа в кубе

И, конечно же, третья — таблица кубов, при помощи которой осуществляется извлечение кубического корня.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	8	27	64	125	216	343	512	729
1	1000	1331	1728	2197	2744	3375	4096	4913	5832	6859
2	8000	9261	10648	12167	13824	15625	17576	19683	21952	24389
3	27000	29791	32768	35937	39304	42875	46656	50653	54872	59319
4	64000	68921	74088	79507	85184	91125	97336	103823	110592	117649
5	125000	132651	140608	148877	157464	166375	175716	185193	195112	205379
6	216000	226981	238328	250047	262144	274625	287496	300763	314432	328509
7	343000	357911	373248	389017	405224	421875	438976	456533	474552	493039
8	512000	531441	551368	571787	592704	614125	636056	658503	681472	704969
9	729000	753571	778688	804357	830584	857375	884736	912673	941192	970299

Эти числа возводятся в третью степень.

Название «Куб» приобрелось из-за того, что такая операция проводится для нахождения объема куба. Т.е., для этого нужно возвести длину ребра куба в третью степень.

Такие таблицы достаточно просты в использовании. Слева — десятки, а справа — единицы. С их помощью можно быстро и легко извлечь корень числа от 0 до 99. Это был один из методов извлечения корней, как мне кажется, самый простой после вычислительного средства — калькулятора, но, зачастую, мы не всегда можем им воспользоваться, как говорилось ранее. Так давайте же перейдем к другим интересным и сложным на первый взгляд вариантам решения.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Двигаясь от наиболее удобного и быстрого способа к более сложному, давайте разберемся во втором из них — разложение подкоренного числа на простые множители.

Этот метод состоит в том, чтобы представить какое-либо число в виде степени с нужным нам показателем, из чего мы можем получить значение этого корня.

Пример 1:

Возьмём число 196. Для извлечения его квадратного корня, разложим это число на простые множители: √196=2×2×7×7=2²×7²

Теперь делаем следующие действия: 2×7=14.

Объяснение:

Множители находятся так: 196 делим на 2, а полученное число 98 мы тоже делим на 2. Делим до тех пор, пока деление станет невозможным. Так, число 49 нельзя поделить пополам, поэтому мы действуем методом подбора. Находим такое число, которое делится. В данном случае — это 7. Два числа, что у нас получились (2 и 7), мы умножаем друг на друга, но уже без степени и получаем число 14, что есть извлечённый корень из числа 196.

Пример 2:

Для того, чтобы лучше понять, как раскладывать на множители, приведем ещё одно число и перейдем к действиям. Деление 441 на 2 невозможно, поэтому подбираем число. Оно делится на 3 два раза. Опять выходит число 49, которое мы делим 2 раза на 7. Из этого следует: √441=3×3×7×7=3²×7²

3×7=21. Значит, ответ: √441=21.

Объяснение:

3 мы умножили на 7, так как это два числа, имеющих 2 степень. Будь у одного из них 4 степень, например: 3⁴×7² — нужно было бы сделать так: 3×3×7. Проще сказать, что мы сокращаем степени ⁴ и ².

Подкоренные числа, разложенные на простые множители, могут иметь лишь чётную степень.

Извлечение корней из дробных чисел

Перед тем, как начать вычисления, убедитесь, что дробное число представлено в виде обыкновенной дроби.

Перейдем к свойству корня из частного:

Далее нужно воспользоваться правилом извлечения корня из дроби, которое гласит: корень из дроби равен от деления корня числителя на корень знаменателя.

Пример 1:

Давайте возьмем любую десятичную дробь и на её примере посмотрим, как нужно извлекать корень.

Так, например, найдем кубический корень из 373,248.

Первый ход — это представление десятичной дроби в виде обыкновенной:

³√373248/³√1000. После этого найдем кубический корень в числе и знаменателе:

Эти действия происходят как с квадратными корнями, но здесь уже мы считаем числа 2 и 3 не по двойке, а тройке, т.е. 2⁹=2×2×2, а 3⁶=3×3. Или же сокращаем ⁹ и ⁶.

Проверим таким образом: из 9 вычитаем тройки до тех пор, пока не придем к 0: 9-3-3-3 – это значит, что двоек у нас будет именно 3. Так и с 3⁶. Если от 6 отнять 3 два раза, то будет 0. Выходит, что троек у нас именно две.

Извлечение отрицательного корня

Существуют вещественные числа, из которых невозможно извлечь корень, т.е. решения нет. А вот из комплексных чисел можно извлекать корень. Для начала узнаем, что это за числа.

Определение

Вещественные (действительные) числа— это рациональные и иррациональные числа, которые можно записать в форме конечной или бесконечной десятичной дроби.

Комплексные числа — это выражение, в котором есть:

вещественные числа a и b;
i — мнимая единица.

Итак, чтобы извлечь корень из отрицательного числа, нужно помнить, что если знаменатель является нечётным, то число под знаком корня может оказаться отрицательным.

Далее, чтобы провести эту операцию с отрицательным числом, перейдем к следующим действиям:

Извлекаем корень из противоположного ему положительного числа.
Ставим перед полученным числом знак минус.

Пример 1:

1. Преобразуем выражение ⁵√-12 640/32 так, чтобы вместо отрицательного числа под корнем оказалось положительное:

⁵√-12 640/32 = -⁵√12 640/32

2. Избавимся от смешанного числа, заменив его обыкновенной дробью:

-⁵√12 640/32= -⁵√1024/32

3. С помощью правила извлечения корней из обыкновенной дроби, начнем извлекать:

4. Теперь нужно вычислить корни в числителе и знаменателе:

Нет времени решать самому?

Внесение множителя под знак корня: правила, примеры, решения

В этой статье мы продолжим говорить о том, как преобразовывать иррациональные выражения, а конкретно о том, как внести множитель под знак корня. Сначала поясним, в чем состоит смысл такого преобразования, приведем теоретические обоснования и сформулируем основные правила, после чего проиллюстрируем их на примерах решений задач.

Понятие внесения множителя под знак корня

Начнем с определения этого преобразования.

Внесение множителя под знак корня представляет собой преобразование произведения B · C n , где B и C являются числами или выражениями, а n – натуральным числом, в тождественно равное выражение B n · C n или — B n · C n .

Первое знакомство с этим видом преобразования, как правило, происходит сразу после изучения понятия квадратного корня и его свойств в рамках школьного курса алгебры. При этом определение берется только для n , равного 2 , то есть для выражений с квадратным корнем. Позже, когда начинают изучаться корни n -ной степени, разбираются и случаи с более сложными выражениями.

Учитывая все сказанное выше, легко понять, почему данное преобразование называется именно так: в его результате множитель B перемещается под знак корня. Также очевидно, что изменить таким образом можно не любые выражения, а только конкретные произведения некоторых чисел (выражений) и корней, под знаками которых также расположено некоторое число или выражение. В качестве примера можно привести 5 · 3 , — 0 , 7 · x + 2 · y 3 , x — 2 · 1 — x 4 и т.д.

В результате мы должны прийти к выражению вполне определенного вида. Так, указанные выше примеры после преобразования будут выглядеть так: 5 2 · 3 , — 0 , 7 3 · x + 2 · y 3 , — x — 2 4 · 1 — x 4 . Возможно и дальнейшее упрощение этих выражений, если такая необходимость есть.

После того, как мы определились, что из себя представляет внесение множителя под знак корня, можно перейти к теоретическим обоснованиям преобразования. В следующем пункте мы объясним, когда — B n · C n следует заменять на B n · C n , а когда B n · C n на — B n · C n .

Теоретические основы внесения множителя под корень

Ранее, когда мы объясняли, как можно изменить иррациональные выражения, применяя основные свойства корня, у нас получился ряд важных результатов. Здесь нам потребуются два из них:

Выражение A можно заменить на A n n в случае нечетного n . Если же n является четным числом, то возможна замена на A n n для всех значений переменных, которые принадлежат области допустимых значений для данного выражения и при которых A не будет отрицательным (это условие можно записать как A ≥ 0 ). То есть если n – нечетное число, то A = A n n , A ≥ 0 , — A n n , A < 0 .
Выражение A n · B n заменяется на A · B n при условии, что n – натуральное число.

Воспользовавшись этими правилами, мы можем внести множитель под знак радикала (корня) после следующих преобразований:

при нечетном n – B · C n = B n n · C n = B n · C n
при четном n – B · C n = B n n · C n = B n · C n , B ≥ 0 , — B n n · C n = — B n · C n , B < 0

Допустим, B представляет из себя число, большее 0 , либо выражение, которое будет неотрицательным при любых значениях переменных из области допустимых значений. Тогда B · C n = B n n · C n = B n · C n . А если B будет отрицательным числом или его значения не будут положительны при любых переменных, то B · C n = — B n n · C n = — B n · C n .

В следующем пункте мы сформулируем эти положения в виде правил, которые будем в дальнейшем применять для решения задач.

Основные правила внесения множителя под знак радикала

Выше мы уже рассказывали, что действия, которые нужно предпринять для внесения множителя под корень, будут зависеть от значения показателя n, точнее от того, четный он или нечетный, а также от вида самого выражения. Запишем несколько правил для всех возможных случаев.

Если показателем корня является нечетное число, то необходимые преобразования будут выглядеть следующим образом: B · C n = B n n · C n = B n · C n .

Определение 4

Если показателем корня является четное число, а B является некоторым выражением с неотрицательным значением ( x 2 , 5 · x 4 + 3 · y 2 · z 2 + 7 и др.) или же просто положительным числом, то нам нужно действовать так: B · C n = B n n · C n = B n · C n .

Определение 5

Если показателем корня будет четное число, но B при этом будет числом, меньшим 0 , или выражением с неположительными значениями (к примеру, − 2 · x 2 , − ( x 2 + y 2 + 1 ) и т.п.), то вносить множитель под корень нужно так: B · C n = — B n n · C n = — B n · C n .

Определение 6

Если показатель корня четный, однако по выражению B невозможно сразу сказать, какие значения оно примет на области допустимых значений, нам нужно:

решить неравенства B ≥ 0 и B < 0 на области допустимых значений исходного выражения;
получив некоторые множества решений, выполнить на первом из них преобразование B · C n = B n n · C n = B n · C n , а на втором B · C n = — B n n · C n = — B n · C n .

Теперь посмотрим, как правильно применять эти положения на практике.

Решения задач на внесение множителя под корень

Для начала рассмотрим наиболее простой случай с нечетным показателем корня.

Условие: преобразуйте выражения 2 · 3 5 , — 0 , 25 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 и x — 1 · x + 1 x — 1 6 7 , внеся множитель под знак корня.

Решение

Во всех трех выражениях корни имеют нечетные показатели. Тогда мы можем представить вносимые множители в виде корней и перейти от произведения корней к корню произведения. Подсчитаем каждый пример отдельно.

2 · 3 5 = 2 5 5 · 3 5 = 2 5 · 3 5 . Результат можно еще упростить, выполнив нужные действия под корнем: 2 5 · 3 5 = 32 · 3 5 = 96 5 .
Здесь сначала нужно преобразовать десятичную дробь в обыкновенную, чтобы упростить дальнейшие вычисления. После этого вносим множитель под знак корня и получаем: — 0 , 25 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = — 1 4 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = — 1 4 3 3 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = — 1 4 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = 6 · x · y — 1 3 · y 2 3 = 6 · x · y — 2 · y 2 3
Здесь выполняем преобразования сразу:

x — 1 · x + 1 x — 1 6 7 = ( x — 1 ) 7 7 · x + 1 ( x — 1 ) 6 7 = = ( x — 1 ) 7 · x + 1 x — 1 6 7

Полученному выражению можно придать еще более простой вид, преобразовав рациональное выражение под корнем, которое получилось после внесения множителя. Сделаем это:

x — 1 7 · x + 1 x — 1 6 7 = x — 1 7 · x + 1 ( x — 1 ) 6 7 = = ( x — 1 ) · x + 1 7 = x 2 — 1 7

Ответ: 2 · 3 5 = 96 5 , — 0 , 25 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = 6 · x · y — 2 · y 2 3 , x — 1 · x + 1 x — 1 6 7 = x 2 — 1 7

Далее переходим к задачам, в которых нужно преобразовать корень с четным показателем.

Условие: внесите множитель под знак радикала в выражениях 5 · 3 , 1 2 · 16 · q 4 — q 4 и x 2 + 1 · 1 x · ( x 2 + 1 ) , а потом по возможности упростите выражения.

Решение

Первое выражение мы уже приводили в качестве примера в первом пункте. Проверим получившийся результат 5 2 · 3 . Поскольку здесь у нас квадратный корень, а множитель перед ним является положительным числом, то нам нужно выполнить следующие действия: 5 · 3 = 5 2 · 3 = 5 2 · 3 . Все, что нам осталось, – это упростить полученный результат: 5 2 · 3 = 75 .

Во втором случае показатель корня является четным числом, а вносимое число больше 0 , значит, сразу переходим к преобразованиям:

1 2 · 16 · q 4 — q 4 = 1 2 4 4 · 16 · q 4 — q 4 = = 1 2 4 · 16 · q 4 — q 4 = q 4 — q 4 = 0

В третьем случае очевидно, что x 2 + 1 будет принимать значения больше 0 при любых значениях переменной x (поскольку при сложении неотрицательной при любом значении переменной выражения x 2 и единицы мы получим положительное число), значит:

x 2 + 1 · 1 x · x 2 + 1 = x 2 + 1 2 · 1 x · x 2 + 1 = = x 2 + 1 2 · 1 x · x 2 + 1 = ( x 2 + 1 ) 2 x · x 2 + 1 = x 2 + 1 x

Ответ: 5 · 3 = 75 , 1 2 · 16 · q 4 — q 4 = 0 , x 2 + 1 · 1 x · x 2 + 1 = x 2 + 1 x .

Условие: преобразуйте выражения — 10 2 · ( 0 , 1 ) 7 · a 4 и 2 · — 3 — y 2 · x , внеся множитель под знак корня.

Решение

Первое выражение имеет четный показатель корня и отрицательный множитель, который надо внести. Значит, для решения нам надо использовать третье правило, сформулированное в предыдущем пункте:

— 10 2 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 2 4 4 · 0 , 1 7 · a 4 = = — 10 2 4 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 8 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 · a 4

Во втором выражении показатель корня тоже является четным числом. Выражение 2 · ( − 3 − y 2 ) будет отрицательно при любом y , поскольку произведение положительного и отрицательного числа есть число также отрицательное. Значит, можно записать следующее:

2 · — 3 — y 2 · x = — 2 · — 3 — y 2 2 · x = = — 2 · — 3 — y 2 2 · x = — 2 2 · — 3 — y 2 2 · x = = — 4 · y 4 + 6 · y 2 + 9 · x = — 4 · x · y 4 + 24 · x · y 2 + 36 · x

Ответ: — 10 2 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 · a 4 , 2 · — 3 — y 2 · x = — 4 · x · y 4 + 24 · x · y 2 + 36 · x .

Еще один случай, который нам надо разобрать, – работа с четным показателем корня и переменными, способными принимать произвольные значения. Вообще такие преобразования лежат за пределами школьного курса алгебры, поскольку они относятся к задачам повышенной сложности, однако мы все же решим одну такую задачу.

Условие: даны выражения x — 2 · 1 — x 4 и x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 . Выполните внесение множителя под знак корня.

Решение

Первое выражение мы уже приводили в качестве примера в первом пункте. Проверим получившийся результат и поясним ход преобразования. Поскольку в x — 2 · 1 — x 4 есть четный показатель корня ( 4 ) , а выражение x − 2 может принять разные значения (больше 0 , меньше 0 , равные 0 ), то нам придется использовать последнее правило из предыдущего пункта. Область допустимых значений x будет определена условием 1 − x ≥ 0 . Как мы узнаем, когда переменная примет положительное, а когда отрицательное значение? Для этого нам надо составить и решить две системы неравенств: x — 2 ≥ 0 1 — x ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 x ≤ 1 ⇔ ∅ и x — 2 < 0 1 - x ≥ 0 ⇔ x < 2 x ≥ 1 ⇔ x ≤ 1 .

Решений у первой системы нет. Значит, наше выражение x − 2 не может быть положительным ни при каких значениях переменной. А вот вторая система имеет решение в виде множества x ≤ 1 , совпадающее с областью допустимых значений. Поэтому можно записать следующее:

x — 2 · 1 — x 4 = — x — 2 4 4 · 1 — x 4 = = — ( x — 2 ) 4 · 1 — x 4

Во втором выражении x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 имеется четный показатель корня, а выражение x + 6 x — 4 на первый взгляд может принимать любые значения. Выясним, когда они будут положительными, а когда отрицательными. Как и в примере выше, составим и решим две системы неравенств: x + 6 x — 4 ≥ 0 x 2 + x — 2 ≥ 0 и x + 6 x — 4 < 0 x 2 + x - 2 ≥ 0 .

Первую систему можно решить, используя метод интервалов, а вторую – любым способом решения квадратных неравенств.

x + 6 x — 4 ≥ 0 x 2 + x — 2 ≥ 0 ⇔ ( — ∞ , — 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) ( — ∞ , — 2 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) ⇔ ⇔ ( — ∞ , — 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) x + 6 x — 4 < 0 x 2 + x - 2 ≥ 0 ⇔ ( - 6 , 4 ) ( - ∞ , - 2 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) ⇔ ⇔ ( - 6 , - 2 ] ∪ [ 1 , 4 )

Следовательно, значение выражения x + 6 x — 4 будет неотрицательным при x ∈ ( − ∞ , − 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) , и x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 = x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 = = x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2

А отрицательным значение будет при x ∈ ( − 6 , − 2 ] ∪ [ 1 , 4 ) , и x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 = — x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 = = — x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2

Выражение, которое получилось в итоге, может быть приведено к виду рациональной дроби.

Ответ: x — 2 · 1 — x 4 = — ( x — 2 ) 4 · 1 — x 4 и

x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 = = x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 , x ∈ ( — ∞ , — 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) — x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 , x ∈ ( — 6 , — 2 ] ∪ [ 1 , 4 )

В заключении отметим, что вносить число под знак корня часто требуется в случаях, когда нужно сравнить значения выражений с корнями. Также советуем вам прочесть материал, посвященный противоположному преобразованию – вынесению множителя из-под корня.

Как вынести из-под корня

Вынесение множителя из-под знака корня — это извлечение корня из одного из множителей (числа или буквы), которые находятся под корнем.

√ 25 · 3 = 5 √ 3

Говорят: «Число « 25 » вынесли из-под знака корня».

Рассмотрим подробнее пример вынесения множителя из-под знака корня.

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

Извлечь квадратный корень из « √ 5 » целым числом не получится, поэтому нам остается только извлечь квадратный корень из « √ 16 ».

$Галка$

Важно!

Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от « 1 » до « 15 » и таблицу часто используемых квадратных корней.

Вспомним, чему равен квадрат числа четыре?

Решение примера выше записываем следующим образом.

√ 16 · 5 = √ 16 · √ 5 = 4 · √ 5

Действие выше называют вынесением множителя из-под знака корня. Говорят: «Число « 16 » вынесли из-под знака корня, получив число « 4 ».

Запомните!

Выносить из-под знака корня можно, только если все действия под знаком корня — умножение .

Примеры правильного и неправильного вынесения из-под знака корня:

√ 144 · 2 = √ 144 · √ 2 = 12 √ 2 (верно) . Под знаком квадратного корня только действие умножения;
√ 16 + 5 ≠ 4 + √ 5 (неверно) . Нельзя выносить « 16 » из-под знака корня, так как под знаком корня сложение ;
√ 25 − 3 ≠ 5 − √ 3 (неверно) . Нельзя выносить из-под знака корня « 25 », так как под знаком корня вычитание ;
√ 16 ·2 + 3 ≠ 4 √ 2 + 3 (неверно) . Нельзя выносить « 16 » из-под знака корня, так как под знаком корня есть сложение (должно быть только умножение ).

Как вынести множитель из корня с одним числом

Рассмотрим пример, когда под корнем только одно число и по условию задания требуется вынести множитель из-под знака корня.

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

Извлечь целое число из квадратного корня « √ 8 » нельзя, так как нет такого целого числа, которое в квадрате давало бы « 8 ».

$Галка$

Важно!

Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от « 1 » до « 15 » и таблицу часто используемых квадратных корней.

Подумаем, на какие множители можно разложить число « 8 », чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака корня. Вспоминаем таблицу умножения.

Число « 8 » — это произведение
« 8 = 4 · 2 ». Теперь можем вынести « 4 » из-под знака корня.

√ 8 = √ 4 · 2 = √ 4 · √ 2 = 2 √ 2

Разберем другие примеры вынесения множителя из-под знака квадратного корня

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

Зададим себе вопрос: «На какие множители нужно разложить « 54 », чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака квадратного корня?».

Видим число « 9 ». Подходит, так как « √ 9 = 3 ».

Завершим решение примера вынесением из-под знака корня числа « 9 ».

√ 54 = √ 9 · 6 = 3 √ 6

Извлечь « √ 6 » целым числом невозможно. Поэтому ответ оставляем в таком виде.

Разбор примера

Вынесите множитель из-под знака корня:

В примерах с числами, которые делятся на « 10, 100, 1000… » и так далее, стоит сразу попробовать разложить число на « 10, 100, 1000… » и второй множитель.

То есть число « 490 » можно разложить на « 490 = 49 · 10 ». Из « 49 » можно извлечь квадратный корень.

Теперь можно вынести « 49 » из-под знака корня.

√ 490 = √ 49 · 10 = 7 √ 10

Разбор примера

√ 500 = √ 5 · 100 = 10 √ 5

Разбор примера

√ 108 = √ 54 · 2 = √ 9 · 6 · 2 =

Как вводить число в корень