Как создать невозможную фигуру

Невозможные фигуры в реальном мире

Приложение 3. Невозможные фигуры из бумаги и дерева

Kokichi Sugihara

Сотрудником токийского университета Кокичи Сугихарой (Kokichi Sugihara), работающим в отделении информатики, разработаны конструкции невозможных фигур, которые можно склеить из бумаги. Ниже представлены фотографии его фигур. Если вы желаете сделать такие же фигуры, вам надо загрузить файл с разверткой соответствующий выбранной вами фигуре, распечатать файл на бумаге, вырезать фигуру из бумаги и склеить. Развертки даны без полей, по которым надо клеить стороны фигуры, поэтому при вырезании не забудьте оставить небольшие поля по краям. Для просмотра файла равертки понадобится Acrobat Reader, который можно скачать по адресу http://www.adobe.com/products/acrobat/main.html.

Невозможная лестница Скачать развертку (PDF)	U and bar Скачать развертку (PDF)
Два кольца Скачать развертку (PDF)

Hitoshi Ikeuchi

Скачать развертку (PDF)	Скачать развертку (PDF)
Скачать развертку (PDF)	Скачать развертку (PDF)
Скачать развертку (PDF)

Дополнение

Развертка для склеивания невозможного треугольника (PDF 31 Кб)
Руководство по конструированию невозможного треугольника из дерева (английский язык) (PDF 202 Кб)

© Идея и дизайн Влада Алексеева, 2001-2024. ( impossible.world@gmail.com ) | Политика конфиденциальности
Перепечатка материалов сайта приветствуется со ссылкой на сайт.
Если у вас есть изображения невозможных фигур, неопубликованных на сайте, пожалуйста, присылайте их мне.

Невозможные фигуры и их моделирование

Асеева, А. В. Невозможные фигуры и их моделирование / А. В. Асеева, М. Н. Симакова. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2018. — № 4 (18). — С. 29-34. — URL: https://moluch.ru/young/archive/18/1271/ (дата обращения: 11.03.2024).

Способность создавать и оперировать пространственными образами характеризует уровень общего интеллектуального развития человека. В психологических исследованиях экспериментально подтверждено, что между склонностью человека к соответствующим профессиям и уровнем развития пространственных представлений имеет место статистически достоверная связь. Широкое применение невозможных фигур в архитектуре, живописи, психологии, геометрии и во многих других областях практической жизни дают возможность больше узнать о различных профессиях и определиться с выбором будущей профессии.

Ключевые слова: трибар, бесконечная лестница, космическая вилка, невозможные ящики, треугольник и лестница Пенроуза, куб Эшера, треугольник Рейтерсвэрда.

Цель исследования: изучение свойств невозможных фигур с помощью с помощью 3-D моделей.

Задачи исследования:

Изучить виды и составить классификацию невозможных фигур.
Рассмотреть способы построения невозможных фигур.
Создать невозможные фигуры с помощью компьютерной программы и 3D моделирования.

Понятие невозможных фигур

Объективного понятия «невозможные фигуры» не существует. Из одного источника невозможная фигура — вид оптических иллюзий, фигура, кажущаяся проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. А из другого источника невозможные фигуры — это геометрически противоречивые изображения объектов, не существующих в реальном трёхмерном пространстве. Невозможность возникает из противоречия между подсознательно воспринимаемой геометрией изображённого пространства и формально-математической геометрией.

Анализируя разные определения, приходим к выводу:

невозможная фигура — это плоский рисунок, который создает впечатление трехмерного объекта таким образом, что объект, предложенный нашим пространственным восприятием, не может существовать, так что попытка создать его ведет к (геометрическим) противоречиям, ясно видимыми наблюдателем.

Когда мы смотрим на изображение, которое создает впечатление пространственного объекта, наша система пространственного восприятия пытается найти пространственную форму, определить ориентацию и структуру, начиная с анализа отдельных фрагментов и намеков на глубину. Далее, эти отдельные части комбинируются и координируются в некотором порядке для создания общей гипотезы о пространственной структуре объекта целиком. Обычно, несмотря на то, что плоское изображение может иметь бесконечное множество пространственных интерпретаций, наш механизм интерпретации выбирает только одну — наиболее естественную для нас. Именно эта интерпретация изображения далее проверяется на возможность или невозможность, а не сам рисунок. Невозможная интерпретация получается противоречивой по своей структуре — различные частичные интерпретации не подходят к общему непротиворечивому целому.

Фигуры являются невозможными, если их естественные интерпретации оказываются невозможными. Однако, это не подразумевает, что не существует какой-либо другой интерпретации этой же фигуры, которая может существовать. Таким образом, нахождение метода точного описания пространственных интерпретаций фигур является одним из основных путей для дальнейшей работы с невозможными фигурами и механизмами их интерпретации. Если суметь описать различные интерпретации, то можно будет сравнивать их, соотносить фигуру и ее различные интерпретации (понять механизмы создания интерпретаций), проверять их соответствие или определять типы несоответствия и т. п.

Виды невозможных фигур

Невозможные фигуры разделяются на два больших класса: одни имеют реальные трехмерные модели, а для других такие создать невозможно.

В ходе работы над темой изучены 4 вида невозможных фигур: трибар, бесконечная лестница, невозможные ящики и космическая вилка. Все они уникальны по-своему.

Трибар (треугольник Пенроуза)

Это геометрически невозможная фигура, элементы которой не могут быть соединены. Все-таки невозможный треугольник стал возможным. Шведский живописец Оскар Рейтесвэрд в 1934 г. впервые представил миру невозможный треугольник из кубиков. В честь этого события в Швеции издана почтовая марка. Трибар можно сделать из бумаги. Любители оригами нашли способ создать и подержать в руках вещь, которая казалась ранее запредельной фантазией ученого. Однако нас обманывают собственные глаза, когда мы смотрим на проекцию трехмерного объекта из трех перпендикулярных линий. Наблюдателю кажется, что он видит треугольник, хотя на самом деле это не так.

Бесконечная лестница.

Конструкция, которая не имеет ни конца, ни края, была придумана биологом Лейонелем Пенроузом и его сыном-математиком Роджером Пенроузом. Впервые модель была опубликована в 1958 г., после чего получила большую популярность, стала классической невозможной фигурой, а ее основная концепция нашла применение в живописи, архитектуре, психологии. Модель ступеней Пенроуза обрела самую большую популярность по сравнению с остальными нереальными фигурами в сфере компьютерных игр, головоломках, оптических иллюзиях. «Вверх по ступеням, ведущим вниз» — так можно охарактеризовать лестницу Пенроуза. Идея этой конструкции заключается в том, что при движении по часовой стрелке ступени ведут все время вверх, а в обратном — вниз. При этом «вечная лестница» состоит всего из четырех пролетов. А значит, всего через четыре лестничных марша путник оказывается там же, откуда начал движение.

Невозможные ящики.

Еще один невозможный объект появился в 1966 году в Чикаго в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф. Кокрана. Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с «Сумасшедшим ящиком». Первоначально автор назвал ее «свободным ящиком» и заявил, что она была «сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве». «Сумасшедший ящик» — это вывернутый наизнанку каркас куба. Непосредственным предшественником «Сумасшедшего ящика» была «Невозможная коробка» (автор Эшер), а ее предшественником в свою очередь стал куб Неккера. Он не является невозможным объектом, однако представляет собой фигуру, в которой параметр глубины может восприниматься неоднозначно. Когда мы вглядываемся в куб Неккера, то замечаем, что грань с точкой находится то на переднем, то на заднем плане, она перепрыгивает из одного положения в другое.

Космическая вилка.

3720816_Nevozmojnii_trezybec (640x461, 37Kb)

Среди всех невозможных фигур особое место занимает невозможный трезубец («космическая вилка»). Если закрыть рукой правую часть трезубца, то мы увидим вполне реальную картину — три круглых зуба. Если закрыть нижнюю часть трезубца, то мы тоже увидим реальную картину — два прямоугольных зубца. Но, если рассматривать всю фигуру целиком, то получается, что три круглых зубца постепенно превращаются в два прямоугольных.

Таким образом, можно увидеть, что передний и задний планы данного рисунка конфликтуют. То есть, то что было изначально на переднем плане уходит назад, а задний план (средний зуб) вылезает вперед. Кроме смены переднего и заднего планов в данном рисунке присутствует еще один эффект — плоские грани правой части трезубца становятся круглыми в левой. Эффект невозможности достигается за счет того, что наш мозг анализирует контур фигуры и пытается подсчитать количество зубцов. Мозг сравнивает количество зубцов фигуры в левой и правой части рисунка, из-за чего возникает ощущение невозможности фигуры. Если количество зубцов у фигуры было значительно больше (например, 7 или 8), то этот парадокс был бы менее ярко выражен.

Изготовление моделей невозможных фигур по чертежам

Трехмерная модель — это физически представимый объект, при рассмотрении которого в пространстве становятся видимыми все щели и изгибы, которые уничтожают иллюзию невозможности, и данная модель теряет свое «волшебство». При проецировании данной модели на двухмерную плоскость получается невозможная фигура. Эта невозможная фигура (в отличие от трехмерной модели), создает впечатление невозможного объекта, который может существовать только в воображении человека, но не в пространстве.

Трибар

Бумажная модель:

Невозможный брусок

Построение невозможных фигур в программе Impossible Constructor

Программа Impossible Constructor предназначена для конструирования изображений невозможных фигур из кубиков. Основными недостатками этой программы были сложность выбора нужного кубика (отыскать один нужный кубик из 32-х доступных в программе достаточно тяжело), а также то, что не были предусмотрены все варианты кубиков. Предлагаемая программа предоставляет к выбору полный набор кубиков (64 кубика), а также дает более удобный способ нахождения требуемого кубика при помощи конструктора кубиков.

Моделирование невозможных фигур.

Печать 3D моделей невозможных фигур на принтере

В ходе работы модели четырех невозможных фигур распечатаны на 3D принтере.

Треугольник Пенроуза

Процесс создания трибара:

Вот что у меня получилось в итоге:

Куб Эшера

Процесс создания куба: В конечном итоге получена модель:

Лестница Пенроуза (всего через четыре лестничных марша путник оказывается там же, откуда начал движение):

Треугольник Рейтерсвэрда (первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков):

Процесс подготовки к печати дал возможность на практике научиться строить стереометрические фигуры на плоскости, выполнять проекции элементов фигур на заданную плоскость и продумывать алгоритмы построения фигур. Созданные модели помогли наглядно увидеть и проанализировать свойства невозможных фигур, сравнить их с известными стереометрическими фигурами.

«Если не можешь изменить ситуацию, взгляни на нее под другим углом».

Эта цитата непосредственно относится к данной работе. Действительно, невозможные фигуры существуют, если взглянуть на них под определенным углом. Мир невозможных фигур чрезвычайно интересен и многообразен. Они существуют с древних времен по наше время. Их можно встретить практически везде: в искусстве, архитектуре, в массовой культуре, в живописи, в иконописи, в филателистике. Невозможные фигуры представляют большой интерес для психологов, когнитивистов и эволюционных биологов, помогая больше узнать о нашем зрении и пространственном мышлении. Сегодня компьютерные технологии, виртуальная реальность и проекции расширяют возможности, так что на противоречивые объекты можно взглянуть с новым интересом. Существует множество профессий, которые так или иначе связаны с невозможными фигурами. Все они востребованы в современном мире, а потому изучение невозможных фигур является актуальным и нужным.

Реутерсвард О. Невозможные фигуры. — М.: Стройиздат,1990, 206 с.
Левитин Карл Геометрическая рапсодия. — М.: Знание, 1984, -176 с.
Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, с.26
Ткачева М. В. Вращающиеся кубики. — М.: Дрофа, 2002. — 168 с.
http://www.im-possible.info/russian/articles/reut_imp/
http://www.impworld.narod.ru/.
Левитин Карл Геометрическая рапсодия. — М.: Знание, 1984, -176 с.
http://www.geocities.jp/ikemath/3Drireki.htm
http://im-possible.info/russian/programs/
https://www.liveinternet.ru/users/irzeis/post181085615
https://newtonew.com/science/impossible-objects
http://www.psy.msu.ru/illusion/impossible.html
http://referatwork.ru/category/iskusstvo/view/73068_nevozmozhnye_figury
http://geometry-and-art.ru/unn.html

Основные термины (генерируются автоматически): фигура, невозможная фигура, космическая вилка, бесконечная лестница, задний план, невозможный треугольник, модель, бумажная модель, нужный кубик, пространственное восприятие.

Ключевые слова

трибар, бесконечная лестница, космическая вилка, невозможные ящики, треугольник и лестница Пенроуза, куб Эшера, треугольник Рейтерсвэрда

Что делает невозможную фигуру невозможной?

Невозможные фигуры образуются линиями, соединенными между собой самым противоречивым образом, с искажением перспективы. При зрительном восприятии таких изображений возникает эффект оптической иллюзии, запредельной реальности. Предлагаю вашему вниманию небольшую коллекцию из этих причудливых фигур.

Треугольник Пенроуза

Автором треугольника Пенроуза, или невозможного треугольника (трибара Пенроуза), является шведский художник Оскар Реутерсвард. Свое знаменитое изображение, принесшее ему славу “отца невозможных фигур”, он создал в 18 лет совершенно случайно. Это произошло в 1934 году на уроке латыни, на котором гимназист Оскар Реутерсвард занимался разрисовыванием учебника.

Внимание широкой публики треугольник Реутерсварда привлек в 1950-х годах, когда психиатр Лайонел Пенроуз и его сын сэр Роджер Пенроуз — впоследствии выдающийся математик, лауреат Нобелевской премии — признали “абсолютную невозможность” этой фигуры. В 1958 году в Британском журнале психологии они опубликовали статью “Невозможные объекты: особый тип визуальной иллюзии”. Кроме того, объекты невозможных геометрических форм были представлены в работах голландского художника-графика М. К. Эшера.

В Викисловаре треугольник Пенроуза определяется как “оптическая иллюзия, возникающая при взгляде на невозможный монолитный объект, состоящий из трех прямолинейных брусков квадратного сечения, которые встречаются попарно под прямым углом в вершинах образуемого ими треугольника”.

Из этого описания следует, что линии невозможной фигуры соединены каким-то неправдоподобным образом. Подобные формы могут существовать только вопреки законам евклидовой геометрии.

При рассмотрении этого рисунка может показаться, что правая сторона треугольника удаляется от вас, в то время как левая приближается. Тем не менее, они соединены одним и тем же прямоугольным бруском и находятся в одной плоскости.

В 1854 году Пенроуз посетил лекцию Эшера и был настолько восхищен его магической геометрией, что начал сам придумывать невообразимые конструкции. Одна из них вдохновила Эшера на создание знаменитой литографии “Водопад”.

В рамках той же концепции была создана еще одна невероятная фигура, известная как Невозможный / Иррациональный куб.

Ребра куба кажутся находящимися одновременно впереди и позади, что невозможно с точки зрения геометрии.

Лестница Пенроуза

Лестница Пенроуза — это каскад ступеней, бесконечно ведущих вверх или вниз. Первое впечатление от конструкции приводит в замешательство, в голове возникает вопрос: “Как такое может быть?”. Но стоит вам изменить угол зрения и внимательнее присмотреться к фигуре, как иллюзия исчезает.

Упомянутая выше статья Пенроуза также содержала описание созданной им невозможной лестницы. По словам ученого, эта структура “воспринимается как лестничный пролет, но связи между ее частями таковы, что картина в целом выглядит противоречиво”.

Два года спустя, в 1960 году, в литографии “Восхождение и нисхождение” Эшер запечатлел собственный образ невозможной лестницы. Произошло это под влиянием статьи Пенроуза, в которой тот признавался, что на создание невозможной лестницы его мотивировало творчество Эшера. Получив от Пенроуза копию этой публикации, художник, в свою очередь, выразил ему свое почтение:

“Несколько месяцев назад один мой друг прислал мне фотокопию вашей статьи… Ваши фигуры 3 и 4, “непрерывный лестничный пролет”, поразили меня своей новизной и настолько впечатлили, что в конце концов вдохновили на создание новой картины, которую я хотел бы послать вам в знак моего уважения”.

Примечательно, что изображение невозможной лестницы впервые было создано Оскаром Реутерсвардом в 1937 году, однако ни Пенроуз, ни Эшер ничего не знали об этом

Лестница Пенроуза — это абсолютно невозможная конструкция: визуально поднимаясь или спускаясь по ней, вы останетесь на том же уровне, в каком бы направлении ни двигались — по часовой стрелке (вниз) или против (вверх).

Идея бесконечной лестницы Пенроуза была использована в научно-фантастическом триллере “Начало” (2010) режиссера Кристофера Нолана. Никуда не приводящий лестничный пролет появляется и в боевике “Мстители” (1998).

Более того, в апреле 2014 года была выпущена видеоигра Monument Valley (“Долина монументов”). Ее разработчик — Ustwo Games — впечатлил пользователей множеством оптических иллюзий и невозможных фигур.

Невозможные фигуры выявляют бесконечную одержимость своих творцов всем непостижимым. Но не только в этом их притягательная сила. Они словно говорят нам: “Не верь глазам своим”. Вглядываясь в них, мы понимаем, как легко поддаемся иллюзиям восприятия и как сильно оно отличается от впечатлений других людей, наблюдающих то же самое.

Развенчание мифов о разработке программного обеспечения
Как стать разработчиком проектов с открытым исходным кодом
5 советов для начинающих программистов

Невозможные фигуры

Тема работы актуальна ведь понимание парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с нереальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И для развития пространственного воображения оказываются полезными невозможные фигуры. Человек неустанно мысленно создает вокруг себя то, что для него будет просто и понятно. Он даже не может себе представить, что некоторые объекты, окружающие его, могут быть «невозможными». На самом деле мир един, но рассматривать его можно с разных сторон.

1.Определение невозможных фигур

Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры[1].

Невозможные фигуры – это геометрически противоречивые изображения объектов, не существующих в реальном трёхмерном пространстве. Невозможность возникает из противоречия между подсознательно воспринимаемой геометрией изображённого пространства и формально-математической геометрией.

Невозможные фигуры достаточно часто встречаются на древних гравюрах, картинах и иконах — в одних случаях мы имеем с явными ошибками передачи перспективы, в других — с умышленными искажениями, обусловленными художественным замыслом.

В средневековой японской и персидской живописи невозможные объекты являются неотъемлемой частью восточного художественного стиля, дающего лишь общий набросок картины, детали которой «приходится» додумывать зрителю самостоятельно, в соответствии со своими предпочтениями [2].

Картины с искаженной перспективой встречаются уже в начале первого тысячелетия. На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована «Мадонна с младенцем» (рис.1). На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект нереальности.

Рисунок 1. «Мадонна с младенцем»

2.Виды невозможных фигур

Удивительный треугольник – трибар (рис.2).

Рисунок 2. Трибар

Эта – фигура – возможно первый опубликованный в печати невозможный объект. Она появилась в 1958 году. Её авторы, отец и сын Лайонелл и Роджер Пенроузы, генетик и математик соответственно, определили этот объект как «трехмерную прямоугольную структуру»[2]. Она также получила название «трибар». С первого взгляда трибар кажется просто изображением равностороннего треугольника. Но стороны, сходящиеся вверху рисунка, кажутся перпендикулярными. В тоже время левая и правая грани внизу тоже кажутся перпендикулярными. Если смотреть на каждую деталь отдельно, то она кажется реальной, но, в общем, эта фигура существовать не может. Она не деформирована, но при черчении были неправильно соединены правильные элементы.

Вот еще несколько примеров невозможных фигур на основе трибара (рис.3-6).

Рисунок 3. Тройной деформированный трибар

Рисунок 4. Треугольник из 12 кубов

фигуру чаще всего называют «Вечной лестницей» или «Лестницей Пенроуза» – по имени ее создателя. Ее также называют «непрерывно восходящей и нисходящей тропой»

Впервые эта фигура была опубликована в 1958 году [2]. Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом, человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути.

«Бесконечной лестницей» с успехом воспользовался художник Мауриц К. Эшер, на этот раз в своей литографии «Восхождение и нисхождение», созданной в 1960 году.

Лестница с четырьмя или семью ступеньками. На создание этой фигуры с большим количеством ступенек автора могла вдохновить куча обыкновенных железнодорожных шпал. Собравшись взобраться на эту лестницу, вы будете стоять перед выбором: подняться ли по четырем или по семи ступенькам.

Следующая группа фигур под общим названием «Космическая вилка». С этой фигурой мы входим в самую сердцевину и суть невозможного. Может быть, это самый многочисленный класс невозможных объектов (рис.8).

Рисунок 8. Космическая вилка

Этот пресловутый невозможный объект с тремя (или с двумя?) зубцами стал популярен у инженеров и любителей головоломок в 1964 году. Первая публикация, посвященная необычной фигуре, появилась в декабре 1964 года. Автор назвал ее «Скобой, состоящей из трех элементов».

Рисунок 9. Невозможные ящики

2.Применение невозможных фигур

Невозможные фигуры находят иногда неожиданное применение. Оскар Рутерсвард рассказывает в книге «Omojliga figurer» об использовании рисунков имп-арта для психотерапии [3]. Он пишет, что картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать. Психолог Роджер Шепард использовал идею трезубца для своей картины невозможного слона.

В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога.

Невозможные фигуры в архитектуре и скульптуре

За рубежом, на улицах городов, мы можем увидеть архитектурные воплощения невозможных фигур.

В последнее время было создано несколько мини скульптур и объемных моделей невозможных фигур. Им даже поставлен памятник.

Треугольник Пенроуза увековечен в городе Петре в Австралии. Он был установлен в 1999 году и теперь все, проходя мимо, могут увидеть невозможную фигуру (рис. 10).

Рисунок 10. Треугольник Пероуза в Австралии

.Невозможные фигуры в живописи

В живописи существует целое направление, которое называется импоссибилизм («невозможность») – изображение невозможных фигур, парадоксов. Интерес к импоссибилизму разгорелся к 1980 году. Этот термин был введен в обращение Тедди Бруниусом, профессором искусствоведения копенгагенского университета. Термин этот точно определяет то, что входит в это новое понятие: изображение предметов, которые кажутся реальными, но не могут существовать в физической реальности.

Фрактальная геометрия изучает закономерности, проявляемые в структуре природных объектов, процессов и явлений, обладающих явно выраженной фрагментарностью, изломанностью и искривленностью.

Оп-арт (англ. Op-art – сокращенный вариант optical art – оптическое искусство) – художественное течение второй половины 20 века, использующее различные зрительные иллюзии, основанные на особенностях восприятия плоских и пространственных фигур. Самостоятельным направлением в оп-арте является так называемый имп-арт (imp-art), использующее для достижения оптических иллюзий особенности отображения трёхмерных объектов на плоскости.

Наиболее известными представителями оп-арте являются Морис Эшер, венгерский художник Иштван Орос, фламандский художник Жос Де Мей, швейцарский художник Сандро дель Пре. Британский художник Джулиан Бивер – один из самых известных художников этого направления, который изображает свои шедевры не на бумаге, а на улицах города, стенах городских домов, где ими могут любоваться все.

Невозможные фигуры в оформительском искусстве

Не редко невозможные фигуры используются для оформления обложек журналов.

Учебник по алгебре для 7 класса (рис.11).

Рисунок 11. Учебник Алгебры

Список литературы

Левитин Карл Геометрическая рапсодия. — М.: Знание, 1984, -176 с.
Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, с.26
Реутерсвард О. Невозможные фигуры. – М.: Стройиздат,1990, 206 с.
Ткачева М.В. Вращающиеся кубики. – М.: Дрофа, 2002. – 168 с.
Интернет ресурсы:

http://wikipedia.tomsk.ru
http://www.konenko.net/imp.htm
http://www.im-possible.info/russian/articles/reut_imp/