Известно что после разложения на множители

Разложи на множители : 4z2 + 8zy + 4y2 Известно, что один множитель разложения равен z + y Найди другие (другой) множители разложения ?

Разложи на множители : 4z2 + 8zy + 4y2 Известно, что один множитель разложения равен z + y Найди другие (другой) множители разложения :

Ответить на вопрос
Для ответа на вопрос необходимо пройти авторизацию или регистрацию.

JuliettaN 7 февр. 2019 г., 23:04:19

4z² + 8zy + 4y² = 4(z² + 2zy + y²) = 4(z + y)².

Alabamaloveyo 13 авг. 2019 г., 06:00:52 | 5 — 9 классы

Разложение многочленов на множители?

Разложение многочленов на множители.

Ksenijasavina2 3 июн. 2019 г., 04:53:33 | 5 — 9 классы

Разложение на множители?

Разложение на множители.

Nashifiltri 13 апр. 2019 г., 15:51:51 | 5 — 9 классы

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители Разложить квадратный трехчлен на множители : 2x ^ 2 + x — 3?

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители Разложить квадратный трехчлен на множители : 2x ^ 2 + x — 3.

Olzhas2312 26 сент. 2019 г., 11:19:55 | 5 — 9 классы

Разложите на множители 3z ^ 2 + 6zy + 3y ^ 2, известно, что один множитель равен z + y?

Разложите на множители 3z ^ 2 + 6zy + 3y ^ 2, известно, что один множитель равен z + y.

Найти другие множители.

Natachuqunova 15 июн. 2019 г., 04:48:07 | 5 — 9 классы

Разложи на множители : 1, 1z ^ 2 + 2, 2zy + 1, 1y ^ 2 Известно, что один множитель разложения равен \ (z + y \ ) Найди другие (другой) множители разложения?

Разложи на множители : 1, 1z ^ 2 + 2, 2zy + 1, 1y ^ 2 Известно, что один множитель разложения равен \ (z + y \ ) Найди другие (другой) множители разложения.

Anna764718 30 мар. 2019 г., 05:55:36 | 5 — 9 классы

Разложение многочленов на множители ?

Разложение многочленов на множители .

Объясните пожалуйста а).

Dashasavinova 30 дек. 2019 г., 05:09:25 | 5 — 9 классы

Известно, что после разложения на множители выражения 32c ^ 3 + 32d ^ 3, один из множителей равен (c + d)?

Известно, что после разложения на множители выражения 32c ^ 3 + 32d ^ 3, один из множителей равен (c + d).

Чему равны другие (другой) множители?

Sergei22021982 30 янв. 2019 г., 10:54:53 | 5 — 9 классы

Помогите пожалуйста : Разложи на множители : 1, 2z2 + 2, 4zy + 1, 2y2 Известно, что один множитель разложения равен \ (z + y \ ) Найди другие (другой) множители разложения 2 : Разложи на множители : 0?

Помогите пожалуйста : Разложи на множители : 1, 2z2 + 2, 4zy + 1, 2y2 Известно, что один множитель разложения равен \ (z + y \ ) Найди другие (другой) множители разложения 2 : Разложи на множители : 0, 49g−gy2.

Valereeva 26 сент. 2019 г., 10:10:07 | 5 — 9 классы

1)Разложи на множители x3−x2−0, 5x + 0, 125 2)Разложи на множители : 15×2−30xy + 15y2 Известно, что один множитель разложения равен x−y?

1)Разложи на множители x3−x2−0, 5x + 0, 125 2)Разложи на множители : 15×2−30xy + 15y2 Известно, что один множитель разложения равен x−y.

ЦåթմцåНастюша 19 окт. 2019 г., 07:26:59 | 5 — 9 классы

Разложите на множители : 64 — (n + 4) И по возможности объясните, как выполнять действие разложения на множители, за каникулы все забыла?

Разложите на множители : 64 — (n + 4) И по возможности объясните, как выполнять действие разложения на множители, за каникулы все забыла.

На этой странице сайта размещен вопрос Разложи на множители : 4z2 + 8zy + 4y2 Известно, что один множитель разложения равен z + y Найди другие (другой) множители разложения ? из категории Алгебра с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 5 — 9 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.

Разложение многочленов на множители

Выражения вида называются многочленами от x степени n (a_n ≠ 0) с действительными коэффициентами, если a_i, i = 0,1,2. n — действительные числа.

Как известно, если комплексное число – корень многочлена, то обязательно и комплексно сопряженное ему число является корнем многочлена. Поэтому их произведение

представляет собой квадратичное выражение.

Таким образом, любой многочлен с действительными коэффициентами всегда можно представить в виде произведения линейных и квадратичных множителей

где , а x₁, . x_s — действительные корни многочлена. То есть, если известны все корни многочлена с действительными коэффициентами, то можно сразу написать его разложение на множители.

Подбор корней многочлена.

В общем случае найти корни многочлена степени n довольно сложная задача, но можно попытаться найти хотя бы один корень x₀. Разделив исходный многочлен на одночлен x-x₀, мы получим многочлен степени n-1. Тем самым мы упростили исходную задачу, так как раскладывать на множители теперь надо многочлен степени n-1. Например, для многочлена третьей степени после деления на x₀ мы получим многочлен второй степени, корни которого найдем, просто решив квадратное уравнение. Существенную помощь в подборе рациональных корней многочлена может оказать следующая теорема.

Теорема. Если многочлен a(x)= a_n*x n + a_n-1*x n-1 + a_n-2*x n-2 + . + a₁*x + a₀, a_n ≠ 0 c целыми коэффициентами имеет рациональный корень x₀ =

(причем эта дробь несократима), то p – делитель свободного члена a₀, а q – делитель старшего коэффициента a_n. Из этой теоремы следует, что если старший коэффициент равен единице, то целые корни многочлена следует искать только среди делителей свободного члена.

Попробуем применить эту теорему для разложения многочлена на множители.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее .

Математика по полочкам

Если члены многочлена не имеют общего множителя, отличного от 1, то можно попытаться разложить такой многочлен способом группировки.

Для этого надо объединить в группы те члены, которые имеют общие множители, и вынести за скобки общий член каждой группы. Если после таких преобразований окажется общий множитель у всех получившихся групп, то его вынести за скобки.

Разложить многочлен на множители: 10 ay – 5cy +2ax-cx.

1) Объединим в первую группу 10ay и 2ax , а во вторую группу -5cy и -cx: ( 10ay и 2ax) + ( -5cy и -cx) .

2) В первой группе вынесем за скобки общий множитель 2а, во второй группе вынесем за скобки общий множитель -с: 2а(5у+х)-с(5у+х).

3) Как видим, оба члена многочлена имеют общий множитель (5y+х), вынесем его за скобки: (5y+х)(2а-с).

Получим: 10 ay – 5cy +2ax-cx= (5y+х)(2а-с).

Формулы сокращенного умножения

Разложить некоторые многочлены на множители можно при помощи формул сокращенного умножения.
1. x 2 -y 2 =(x-y)(x+y)


2. x 2 +2xy+y 2 =(x+y) 2


3. x 2 -2xy+y 2 =(x-y) 2


4. x 3 +y 3 =(x+y)(x 2 -xy+y 2 )


5. x 3 -y 3 =(x-y)(x 2 +xy+y 2 )


6. x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3 =(x+y) 3


7. x 3 -3x 2 y+3xy 2 -y 3 =(x-y) 3 .
Разложить на множители: 2x 2 -4x+2.
1) Вынесем 2 — общий множитель за скобки: 2(x 2 -2x+1).
2) Воспользуемся формулой №3 — квадрат разности: 2(x-1) 2 .
Получим: 2x 2 -4x+2= 2(x-1) 2 .

Разложение квадратного трехчлена на множители

Выражение вида ax 2 +bx+c называется квадратным трехчленом.

Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде ax 2 + bx + c = a ( x — x ₁ )( x — x ₂ ) , где х₁ и х₂ – корни трехчлена.

Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен можно представить в виде ax 2 + bx + c = a ( x — x ₁ ) 2 , где х₁ – корень трехчлена.

Разложить на множители: x 2 +5x-6
D =5 2 -4 × 1 × (-6)=25+24=49=7 2
x ₁ =(-5+7):2=1, x ₂ =(-5-7):2=-6.
Получим: x 2 +5 x -6=( x -1)( x +6).

УПРАЖНЕНИЯ

1. а) Известно, что a и b — цифры. Выпишите формулу, выражающую число х, состоящее из a сотен, 7 десятков и b единиц:

1) х=100b+70+a; 2) x=100a+70+b; 3) x=ab; 4)x=700+10a+b.
б) Известно, что m и n — цифры. Выпишите формулу, выражающую число у, состоящее их 5 сотен, m десятков и n единиц:
1) y=100m+50+n; 2)y=100n+50+m; 3) y=5mn; 4) y=500+10m+n.

Решение:
а) а сотен — это 100а, 7 десятков — это 70, b единиц — это просто b. Число х=100а+70+b/
Ответ: 2)

2. а) Известно, что s-t=-1,3. Укажите выражение, значение которого равно 2,6:
1) ( t-s) 2 ; 2) (t-s):2; 3) 2(t-s); 4) s-t-1,3.
б) Известно, что m-n=-2,1. Укажите выражение, значение которого равно 4,2:
1) (n -m) 2 ; 2) (m-n):2; 3) -2(m-n); 4) m-n-2,1.

Решение:
а) Т . к . s-t=-1,3, то t-s=1,3. 1) (t-s) 2 = 1,3 2 =1,69 ; 2) (t-s):2 =1,3:2=0,65 ;
3) 2(t-s) =2 × 1,3=2,6 ; 4) s-t-1,3 =-1,3-1,3=-2,6 .
Ответ: 3).

3. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) х 2 -7х+10; б) х 2 -10х+16.

Решение:
а) Найдем дискриминант: D=49-40=9. Вычислим корни: x ₁ =(7+3):2=5; x ₂ =(7-3):2=2.
Тогда х 2 -7х+10=(х-5)(х-2).
Ответ: (х-5)(х-2).


4. Сократите дробь:

Решение:
а) В числителе вынесем за скобки общий множитель 9b:

5. Сократите дробь:

Решение:

а) В числите воспользуемся формулой разности квадратов, в знаменателе вынесем общий множитель 3 за скобки.

6. Упростите выражение:

Решение:

7. Разложите многочлен на множители:
а) 2x+4y-xy-2y 2 ; б) xy-6x+3y-2x 2 .

Решение:
а) Сгруппируем первое со вторым слагаемые и третье с четвертым:
2x+4y-xy-2y 2 =(2x+4y)+(-xy-2y 2 )=2(x+2y)-y(x+2y)=(x+2y)(2-y).

8. Найдите, при каких значениях переменной не имеет смысла выражение:

Решение:
а) Выражение не имеет смысла, если знаменатель равен нулю. Найдем значения переменной х, при которых a 2 -16a равно нулю:
a 2 -16a=0,
а(а-16)=0,
а=0 или а-16=0,
а+0 или а=16.
Ответ: 0; 16.

9. Сократите дробь:

Решение:
а) Вынесем в числителе общий множитель а за скобки, в знаменателе за скобки вынесем общий множитель b:

10. Сократите дробь:

Решение:

11. Разложите на множители:
а)2х 2 -20ху+50у 2 -2; б)3х 2 +12у 2 +12ху-12.

Решение:
а) Вынесем общий множитель 2 за скобки, затем воспользуемся формулой квадрата разности и формулой разности квадратов: 2х 2 — 20ху+50у 2 -2=2(x 2 — 10xy+25y 2 -1)=2((x-5y) 2 -1)=2(x-5y-1)(x-5y+1).

12. Сократите дробь (№ 2/4/17 [7]:

Решение:

13. Упростите выражение:

Решение:
а) 2 (25a 2 -4) можно представить в виде 2(5а-2)(5а+2), тогда в числителе воспользуемся формулой квадрата суммы, а в знаменателе — квадрата разности:

14. а) Первое натуральное число при делении на 5 дает остаток 2, а другое — остаток 3. Найдите, какой остаток получится при делении на 5 удвоенного произведения этих чисел.
б) Первое натуральное число при делении на 9 дает остаток 6, а другое — остаток 1. Найдите, какой остаток получится при делении на 9 произведения суммы и разности этих чисел.

Решение:
а) Обозначим первое число х, тогда используя формулу деления с остатком его можно записать следующим образом: х=5b+2.
Обозначим второе число у, по формуле деления с остатком у=5а+3.
Найдем удвоенное произведение этих чисел:
2ху=2(5b+2)(5a+3)=(10b+4)(5a+3)=50ab+30b+20a+12=5(10ab+6b+4a+2)+2.
Мы представили удвоенное произведение в виде формулы деления с остатком на 5, следовательно остаток равен 2.
Ответ: 2.

15. Найдите х из пропорции (№ 2.5.28 [7]:

Решение:
а) Преобразуем числитель первой дроби:
25-n 2 -2mn-m 2 =25-( n 2 +2mn+m 2 )=5 2 -(n+m) 2 =(5-(n+m))(5+(n+m))=(5-n-m)(5+n+m).
Преобразуем знаменатель первой дроби:

Известно что после разложения на множители

Изучение приёмов преобразования уравнений начнём с обсуждения того, как можно разлагать на множители выражения, входящие в данное уравнение. Вообще представление уравнения в виде

где выражения «проще» функций , представляет собой несомненное продвижение в решении уравнения. В самом деле, представление вида (5) позволяет сразу приравнивать множители нулю и решать более простые уравнения. Представление уравнения (1) в виде (5) иногда называют факторизованным видом уравнения (1) .

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.

Пример 1

Разложить на множители многочлен .

Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель . Вынесем его за скобку и получим ответ: .

2. Применение формул сокращённого умножения

Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:

Пример 2

Разложить на множители многочлен .

Разложим разность четвёртых степеней по формуле, приведённой выше:

3. Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним сказанное на примере.

Пример 3

Разложить на множители многочлен .

Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

5. Метод неопределённых коэффициентов

Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

Теоретической основой метода являются следующие утверждения.

• Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
• Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
• Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Для доказательства второго утверждения вспомним, как выглядит график степенной функции с нечетной целой степенью Действительно, из его вида следует, что значение многочлена имеет разные знаки при . Многочлен степени – непрерывная функция, значит, найдется хотя бы одна точка, в которой график этой функции пересечет ось .

Пример 4

Разложить на множители многочлен .

Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены и такие, что справедливо равенство

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырёх уравнений для определения четырёх неизвестных коэффициентов:

Решая эту систему, получаем:

Итак, многочлен разлагается на множители:

6. Теорема о корнях многочлена

Разложение многочлена на множители иногда удаётся провести, если один из его корней угадан с помощью теоремы о рациональных корнях, доказанной в § 2.1.4. После того, как корень угадан, многочлен представим в виде , где − многочлен степени на 1 меньше, чем .

Пример 5

Разложить на множители многочлен .

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. По следствию теоремы о рациональных корнях (см. § 2.1.4) если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16, то есть если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1, ±2, ±4, ±8, ±16.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть

где − многочлен второй степени. Следовательно, исходный многочлен разлагается на множители, один из которых ().

7. Разложение относительно параметра

Суть этого метода легче всего понять на примере.

Пример 6

Разложить на множители многочлен .

Преобразуем данный многочлен:

Рассмотрим теперь многочлен , который при совпадает с данным. Полученный многочлен является квадратным, его корни легко найти по теореме Виета:

Следовательно, . Значит, исходный многочлен разлагается на множители . Вернемся к многочлену, данному в условии задачи, подставив . Получим:

Похожие публикации:

1. Как скопировать условное форматирование на другие ячейки
2. Как установить свой циферблат на huawei band 6
3. Почему в автокаде круг становится многоугольником
4. Сколько устройств можно подключить к яндекс плюс