Где найти интегралы в маткаде

Где найти интегралы в маткаде

8 .3 Вычисление интегралов

В MathCAD существует возможность вычисления как неопределенных, так и определенных интегралов. После нажатия пиктограммы на панели «Исчисление» появится знак интеграла с незаполненными верхним и нижним пределами (или без них), это зависит от того, какой вид интеграла необходимо вычислить – определенный или нет), подынтегральным выражением и переменной интегрирования. Так же как и в производных не имеет значения, была ли определена подынтегральная функция до интеграла или непосредственно в интеграле. Не следует забывать об использовании знака символьных вычислений. При вычислении двойных (тройных и т.д.) интегралов следует навести курсор на нужное место документа и нажимать на пиктограмму интеграла, не меняя при этом положение курсора (см. рис.13).

Рис.13 Вычисление интегралов

Интегрирование

Интегрирование в MathCAD реализовано в виде вычислительного оператора. Допускается вычислять интегралы от скалярных функций в пределах интегрирования, которые также должны быть скалярами. Несмотря на то, что пределы интегрирования обязаны быть действительными, подынтегральная функция может иметь и комплексные значения, поэтому и значение интеграла может быть комплексным. Если пределы интегрирования имеют размерность, то она должна быть одной и той же для обоих пределов.

Оператор интегрирования

Интегрирование, дифференцирование, как и множество других математических действий, устроено в MathCAD по принципу «как пишется, так и вводится». Чтобы вычислить определенный интеграл, следует напечатать его обычную математическую форму в документе. Делается это с помощью панели Calculus (Вычисления) нажатием кнопки со значком интеграла или вводом с клавиатуры сочетания клавиш + (или символа «&», что то же самое). Появится символ интеграла с несколькими местозаполнителями (рис. 1), в которые нужно ввести нижний и верхний интервалы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования.

Можно вычислять интегралы с одним или обоими бесконечными пределами. Для этого на месте соответствующего предела введите символ бесконечности, воспользовавшись, например, той же самой панелью Calculus (Вычисления). Чтобы ввести — (минус бесконечность), добавьте знак минус к символу бесконечности, как к обычному числу.

Рис. 1. Оператор интегрирования

Чтобы получить результат интегрирования, следует ввести знак равенствили символьного равенства. В первом случае интегрирование будет проведено численным методом, во втором — в случае успеха, будет найдено точное значение интеграла с помощью символьного процессора MathCAD. Конечно, символьное интегрирование возможно только для небольшого круга несложных подынтегральных функций.

Результат численного интегрирования — это не точное, а приближенное значение интеграла, определенное с погрешностью, которая зависит от встроенной константы TOL. Чем она меньше, тем с лучшей точностью будет найден интеграл, но и тем больше времени будет затрачено на расчеты. Поумолчанию TOL=O.OOI. Для того чтобы ускорить вычисления, можно установить меньшее значение TOL.

Отдавайте себе отчет в том, что при вводе в редакторе MathCAD оператора численного интегрирования, вы, фактически, создаете самую настоящую программу. Пользователь имеет возможность выбирать сам алгоритм численного интегрирования. Для этого:

• 1. Щелкните правой кнопкой мыши в любом месте на левой части вычисляемого интеграла.
• 2. В появившемся контекстном меню выберите один из четырех численных алгоритмов (рис. 2).

Обратите внимание, что перед тем как один из алгоритмов выбран впервые, как показано на рис. 2, флажок проверки в контекстном меню установлен возле пункта AutoSelect (Автоматический выбор). Это означает, что алгоритм определяется MathCAD, исходя из анализа пределов интегрирования и особенностей подынтегральной функции. Как только один из алгоритмов выбран, этот флажок сбрасывается, а избранный алгоритм отмечается точкой.

Рис. 2. Выбор алгоритма численного интегрирования

Разработчиками MathCAD 2001 запрограммированы четыре численных метода интегрирования:

• — Romberg (Ромберга) — для большинства функций, не содержащих особенностей;
• — Adaptive (Адаптивный) — для функций, быстро меняющихся на интервале интегрирования;
• — InfiniteLimit (Бесконечный предел) — для интегралов с бесконечными пределами ();
• — SingularEndpoint — для интегралов с сингулярностью на конце. Модифицированный алгоритм Ромберга для функций, не определенных на одном или обоих концах интервала интегрирования.

Старайтесь все-таки оставить выбор численного метода за MathCAD, установив флажок AutoSelect (Автоматический выбор) в контекстном меню. Попробовать другой метод можно, например, чтобы сравнить результаты расчетов в специфических случаях, когда у вас закрадываются сомнения в их правильности.

Если подынтегральная функция «хорошая», т. е. не меняется на интервале интегрирования слишком быстро и не обращается на нем в бесконечность, то численное решение интеграла не принесет никаких неприятных сюрпризов. Приведем основные идеи итерационного алгоритма Ромберга, который применяется для большинства таких функций.

• — Сначала строится несколько интерполирующих полиномов, которые заменяют на интервале интегрирования подынтегральную функцию f (x). В качестве первой итерации полиномы вычисляются по 1, 2 и 4 интервалам. Например, первый полином, построенный по 1 интервалу, — это просто прямая линия, проведенная через две граничные точки интервала интегрирования, второй — квадратичная парабола и т. д.
• — Интеграл от каждого полинома с известными коэффициентами легко вычисляется аналитически. Таким образом, определяется последовательность интегралов от интерполирующих полиномов: ii, i₂, . . .
• — Из-за интерполяции по разному числу точек вычисленные интегралы ii, 1₂. несколько отличаются друг от друга. Причем чем больше точек используется для интерполяции, тем интеграл от интерполяционного полинома ближе к искомому интегралу, стремясь к нему в пределе бесконечного числа точек. Поэтому определенным образом осуществляется экстраполяция последовательности ii, I₂, it. до нулевой ширины элементарного интервала. Результат этой экстраполяции j принимается за приближение к вычисляемому интегралу.
• — Осуществляется переход к новой итерации с помощью еще более частого разбиения интервала интегрирования, добавления нового члена последовательности интерполирующих полиномов и вычисления нового (м-го) приближения Ромберга J N .
• — Чем больше количество точек интерполяции, тем ближе очередное приближение Ромберга к вычисляемому интегралу и, соответственно, тем меньше оно отличается от приближения предыдущей итерации. Как только разница между двумя последними итерациями | J N -j»» 1 1 становится меньше погрешности TOL или меньше TOL-|J N |, итерации прерываются, и J N появляется на экране в качестве результата интегрирования.Орасходящихсяинтегралах

Если интеграл расходится (равен бесконечности), то вычислительный процессор MathCAD может выдать сообщение об ошибке, выделив при этом оператор интегрирования, как обычно, красным цветом. Чаще всего ошибка будет иметь тип «Found a number with a magnitude greater than 10 Л 307″ (Найдено число, превышающее значение 10 307 ) или «Can’t converge to a solution» (Не сходится к решению), как, например, при попытке вычислить интеграл [- dx Тем не менее, символьный процессор справляется с этим Jo Vx интегралом, совершенно правильно находя его бесконечное значение.

4.1.1. Оператор интегрирования MathCAD 12 руководство

Интегрирование, как и дифференцирование, и множество других математических действий, устроено в Mathcad по принципу «как пишется, так и вводится». Чтобы вычислить определенный интеграл, следует напечатать его обычную математическую форму в документе. Делается это с помощью панели Calculus (Вычисления) нажатием кнопки со значком интеграла или вводом с клавиатуры сочетания клавиш + (или символа «&», что то же самое). Появится символ интеграла с несколькими местозаполнителями (рис. 4.1), в которые нужно ввести нижний и верхний интервалы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования.

Если пределы интегрирования имеют размерность, то она должна быть одной и той же для обоих пределов.

Рис. 4.1. Оператор интегрирования

Чтобы получить результат интегрирования, следует ввести знак равенства или символьного равенства. В первом случае интегрирование будет проведено численным методом, во втором — в случае успеха будет найдено точное значение интеграла с помощью символьного процессора Mathcad. Эти два способа иллюстрирует листинг 4.1. Конечно, символьное интегрирование возможно только для сравнительно небольшого круга несложных подынтегральных функций.

Листинг 4.1. Численное и символьное вычисление определенного интеграла

Можно вычислять интегралы с одним или обоими бесконечными пределами (листинг 4.2). Для этого на месте соответствующего предела введите символ бесконечности, воспользовавшись, например, той же самой панелью Calculus (Вычисления). Чтобы ввести (минус бесконечность), добавьте знак минус к символу бесконечности, как к обычному числу.

Листинг 4.2. Вычисление интеграла с бесконечными пределами

Подынтегральная функция может зависеть от любого количества переменных. Именно для того чтобы указать, по какой переменной Mathcad следует вычислять интеграл, и нужно вводить ее имя в соответствующий местозаполнитель. Помните, что для численного интегрирования по одной из переменных предварительно следует задать значение остальных переменных, от которых зависит подынтегральная функция и для которых вы намерены вычислить интеграл (листинг 4.3).

Листинг 4.3 . Интегрирование функции двух переменных по разным переменным

Рис. 4.2. Использование оператора интегрирования в функции пользователя

Оператор интегрирования может использоваться точно так же, как и другие операторы: для определения функций, в циклах и при вычислении ранжированных переменных. Пример присваивания пользовательской функции f (z) значения определенного интеграла и вычисления нескольких ее значений приведен на рис. 4.2. На том же рисунке показано, как можно построить график результата интегрирования.

Где найти интегралы в маткаде

Если интеграл рассчитывается численно, PTC Mathcad использует метод адаптивной квадратуры. Для улучшения результатов может возникнуть необходимость изменения TOL , конечных точек или подынтегрального выражения:

• Уменьшение значения TOL может улучшить результаты, но при этом в какой-то точке интеграл не сойдется. Хорошим рабочим диапазоном является диапазон от 10 -4 до 10 -6 .

• Можно получить более точные ответы, если задать в качестве конечных точек бесконечность и использовать алгоритм, допускающий использование бесконечности в качестве конечных точек.

• Подынтегральные выражения с острым максимумом, как и функции, чья форма не характеризуется полностью одним масштабом длин, не могут быть вычислены точно. Можно получить более точные результаты, разбив интеграл на части и отдельно проинтегрировав пик остальной части графика.

• PTC Mathcad обычно не может интегрировать функции, имеющие сингулярности в интервале интегрирования. Ступенчатые и пилообразные функции с многими конечными разрывами могут также привести к несходимости интегралов. Если известно расположение сингулярностей в подынтегральном выражении, можно получить правильную численную оценку, разбив интеграл на сумму интегралов с этими точками в качестве пределов. Чтобы найти потенциальные сингулярности или нарушения непрерывности, постройте график интеграла.

Дополнительные сведения

Применение адаптивного метода к несобственному интегралу скорее всего приведет к неверному численному результату. Алгоритм адаптивной интеграции требует аппроксимировать функцию полиномом в каждом разбиении подинтервалов, чтобы можно было использовать метод квадратур Гаусса. Невозможность обеспечить непрерывность подинтегрального выражения может привести к неверным результатам или сбою сходимости.