Чем log отличается от lg

Что такое десятичный логарифм?

Как же быть в том случае, если, например, надо выразить число 8299 как число 10 в какой-то степени? Как найти это число с определённой степенью точности, которое в данном случае равно 3,919…?

Выход – это логарифм и логарифмические таблицы

Знание логарифмов и умение пользоваться логарифмическими таблицами позволяет значительно упростить многие сложные арифметические операции.Для практического применения удобны десятичные логарифмы.

Историческая справка.
Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен вглубь истории вплоть до древневавилонской математики (около 2000 года до н.э.). Однако первые таблицы логарифмов составили независимо друг от друга шотландский математик HUДж. Непер (1550—1617) UHи швейцарец И. Бюрги (1552—1632). Первые таблицы десятичных логарифмов были составлены и опубликованы английским математиком Г. Бриггсом (1561 —1630).

Предлагаем читателю, не вдаваясь глубоко в математическую суть вопроса, запомнить или восстановить в памяти несколько простейших определений, выводов и формул:

Логарифмом данного числа называется показатель степени, в которую нужно возвести другое число, называемое основанием логарифма (а), чтобы получить данное число.

• При всяком основании, логарифм единицы есть нуль:

а0 = 1

• Отрицательные числа не имеют логарифмов
• Всякое положительное число имеет логарифм
• При основании, большем 1, логарифмы чисел, меньших 1, отрицательны, а логарифмы чисел, больших 1, положительны
• Логарифм основания равен 1
• Большему числу соответствует больший логарифм
• С возрастанием числа от 0 до 1 логарифм его возрастает от—∞ до 0; с возрастанием числа от 1 до+∞ логарифм его возрастает от 1 до+∞ (где, ±∞− знак, принятый в математике для обозначения отрицательной или положительной бесконечности чисел)
• Для практического применения удобны логарифмы, основанием которых является число10

Эти логарифмы называются десятичными и обозначаются lg. Например:

• логарифм числа 10 по основанию 10 равен 1. Иначе говоря, число 10 нужно возвести в первую степень, чтобы получить число 10 (101 = 10), т.е.lg10 = 1
• логарифм числа 100 по основанию 10 равен 2. Иначе говоря, число 10 нужно возвести в квадрат, чтобы получить число 100 (102 = 100),т.е. lg100 = 2

UВывод №1U: логарифм целого числа, изображаемого единицей с нулями, есть целое положительное число, содержащее столько единиц, сколько нулей в изображении числа

• логарифма числа 0,1 по основанию 10 равен -1. Иначе говоря, число 10 нужно возвести в минус первую степень, чтобы получить число 0,1 (10-1 = 0,1), т.е.lg0,1 = -1
• логарифма числа 0,01 по основанию 10 равен -2. Иначе говоря, число 10 нужно возвести в минус вторую степень, чтобы получить число 0,1 (10-2 = 0,01), т.е.lg0,01 = -2

UВывод №2U: логарифм десятичной дроби, изображаемой единицею с предшествующими нулями, есть целое отрицательное число содержащее столько отрицательных единиц, сколько нулей в изображении дроби, считая, в том числе, и 0 целых

lg1 = 0

• логарифм числа 8300 по основанию 10 равен 3,9191… Иначе говоря, число 10 нужно возвести в степень 3,9191… , чтобы получить число 8300 (103,9191…= 8300), т.е. lg8300 =3,9191…

UВывод №3U: логарифма числа, не выраженного единицей с нулями, есть число иррациональное и, следовательно, не может быть выражен точно посредством цифр.
Обыкновенно иррациональные логарифмы выражают приближенно в виде десятичной дроби с несколькими десятичными знаками. Целое число этой дроби (хотя бы это было „0 целых») называется характеристикой, а дробная часть — мантиссой логарифма. Если, например, логарифм есть 1,5441, то характеристика его равна 1, а мантисса есть 0,5441.

• Основные свойства логарифмов, в т.ч. десятичных:
  • логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:lg(a•b)=lgа +lgb
  • логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя, т.е. логарифм дроби равен логарифму числителя без логарифма знаменателя:
  • логарифмы двух взаимообратных чисел по одному и тому же основанию отличаются друг от друга только знаком
  • логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания, т.е. логарифм степени равен показателю этой степени, умноженному на логарифм возводимого в степень числа:

  lg(bk)= k•lgb

  • логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делённому на показатель корня:
  • основное тождество десятичного логарифма: 10lgb ≡b
  • десятичные логарифмы чисел 10, 100, 1000, . равны соответственно 1, 2, 3, . , т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы
  • десятичные логарифмы чисел 0,1; 0,01; 0,001; . равны соответственно -1, -2, -3…, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей (считая и нуль целых)
  • десятичные логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой, и целую часть, называемую характеристикой
  • для определения логарифма по числу используются таблицы логарифмов
  • для определения числа по логарифму используются таблицы антилогарифмов

  Чтобы окончательно понять, что такое десятичный логарифм произвольного числа, детально рассмотрим несколько примеров.

  UПример №2.1.1U.
  Возьмем какое-нибудь целое, например 623 и смешанное число, например 623,57.
  Мы знаем, что логарифм числа состоит из характеристики и мантиссы.
  Сосчитаем, сколько цифр в данном целом числе, или в целой части смешанного числа. В наших примерах этих цифр 3.
  Поэтому каждое из чисел 623 и 623,57 больше 100, но меньше 1000.
  Таким образом можно сделать вывод, что логарифм каждого из этих чисел будет больше lg 100, т. е. больше 2, но меньше lg 1000, т. е. меньше 3 (вспомним, что большее число имеет и больший логарифм).
  Следовательно:
  lg 623 = 2.
  lg 623,57 = 2.
  (точки заменяют собою неизвестные мантиссы).

  UВывод №4U: десятичные логарифмы обладают тем удобством, что их характеристику всегда можно найти по одному виду числа.

  Пусть вообще в данном целом числе, или в целой части данного смешанного числа, содержится m цифр. Так как самое малое целое число, содержащее m цифр, есть единица с m-1 нулями на конце, то (обозначая данное число N) можем написать неравенство:

  следовательно,
  m-1 < lg N < m,
  поэтому
  lg N = (m-1) + положительная дробь.
  значит
  характеристика lgN = m-1

  UВывод №5U: характеристика десятичного логарифма целого или смешанного числа содержит столько положительных единиц, сколько цифр в целой части числа без одной.

  UПример №2.1.2.

  Теперь возьмём несколько десятичных дробей, т.е. чисел меньших 1 (другими словами имеющих 0 целых):
  0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008 и т. п.
  Логарифмы каждого из этих чисел будут находиться в промежутке между двумя целыми отрицательными числами, различающимися на одну единицу. Причём каждый из них равен меньшему из этих отрицательных чисел, увеличенному на некоторую положительную дробь.
  Например,
  lg0,0056= -3 + положительная дробь
  В данном случае положительная дробь будет равна 0,7482.
  Тогда:
  lg 0,0056 = -3 + 0,7482
  UПримечанияU:
  Такие суммы, как -3 + 0,7482, состоящие из целого отрицательного числа и положительной десятичной дроби, условились при логарифмических вычислениях писать сокращенно так:
  ,7482
  (такое число читается: с минусом, 7482 десятитысячных), т. е. ставят знак минус над характеристикой с целью показать, что он относится только к этой характеристике, а не к мантиссе, которая остается положительной.

  Таким образом, приведенные выше числа можно записать в виде десятичных логарифмов
  lg 0,35 =, …
  lg 0,07 =, …
  lg 0,00008 =, …
  Пусть вообще число A есть десятичная дробь, у которой перед первой значащей цифрой α стоит m нулей, считая, в том числе, и 0 целых:

  тогда, очевидно, что

  т. е.
  -m < log A < -(m-1).
  Так как из двух целых чисел:
  -m и -(m-1) меньшее есть –m
  то
  lg А = -m + положительная дробь

  UВывод №6U: характеристика логарифма десятичной дроби, т.е. числа меньшего 1, содержит в себе столько отрицательных единиц, сколько нулей в изображении десятичной дроби перед первой значащей цифрой, считая, в том числе, и нуль целых; мантисса же такого логарифма положительна

  Пример №2.1.3.

  чем отличается log от lg?

  lg — логарифм по основанию 10,
  а у log основание может быть любое, какое укажешь.

  Остальные ответы

  если лог, то снизу припысывается ещё основание, а если ЛГ то основание равно 10

  тот натуральный а другой десятичный логарифм. ой ну с алгеброй у меня плохо. ха

  Буквы нету

  Андрей ЛютипонскийУченик (4) 3 месяца назад

  Спасибо а то я не догадываюсь

  Антон БегемотУченик (150) 3 месяца назад

  Ладно я умный

  Похожие вопросы

  Ваш браузер устарел

  Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

  Что такое логарифм

  Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.

  Мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:

  2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
  2	4	8	16	32	64

  Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

  А теперь — собственно, определение логарифма:

  по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .

  Обозначение: log _a x = b , где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.

  Например, 2 3 = 8 ⇒ log₂ 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log₂ 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.

  Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют . Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

  2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
  2	4	8	16	32	64
  log2 2 = 1	log2 4 = 2	log2 8 = 3	log2 16 = 4	log2 32 = 5	log2 64 = 6

  К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log₂ 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке [2; 3]. Потому что 2 2 < 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

  Если взять калькулятор и посчитать, чему равны такие логарифмы, то получатся очень длинные числа. Взгляните сами:
  log₂ 5 = 2,32192809.
  log₃ 8 = 1,89278926.
  log₅ 100 = 2,86135311.

  Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log₂ 5, log₃ 8, log₅ 100.

  Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

  

  Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.

  Как считать логарифмы

  С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

  1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
  2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

  Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log _a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

  Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log₂ 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1 .

  Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

  Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

  1. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
  2. Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
  3. Полученное число b будет ответом.

  Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

  Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

  1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
  2. Составим и решим уравнение:
     log₅ 25 = b ⇒ (5 1 ) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
  3. Получили ответ: 2.

  Задача. Вычислите логарифм:

  

  1. Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4 ) −1 = 3 −4 ;
  2. Составим и решим уравнение:
  3. Получили ответ: −4.
  1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
  2. Составим и решим уравнение:
     log₄ 64 = b ⇒ (2 2 ) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2 b = 6 ⇒ b = 3;
  3. Получили ответ: 3.
  1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
  2. Составим и решим уравнение:
     log₁₆ 1 = b ⇒ (2 4 ) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4 b = 0 ⇒ b = 0;
  3. Получили ответ: 0.
  1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 < 14 < 7 2 ;
  2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
  3. Ответ — без изменений: log₇ 14.

  Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.

  Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

  8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
  48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
  81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
  35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
  14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

  Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

  Десятичный логарифм

  Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

  от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x . Обозначение: lg x .

  Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.

  Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
  lg x = log₁₀ x

  Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

  Натуральный логарифм

  Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

  от аргумента x — это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .

  Многие спросят: что еще за число e ? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
  e = 2,718281828459.

  Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
  ln x = log _e x

  Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

  Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

  Смотрите также:

  1. Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
  2. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
  3. Десятичные дроби
  4. Центральные и вписанные углы в задании 6
  5. Задача B5: вычисление площади методом обводки
  6. Задачи B4: перевозка груза тремя фирмами
  • Вход для учеников
  • ЕГЭ-2024
  • Школьникам
  • 1. Арифметика
  • Арифметика
  • Дроби
  • Модуль
  • Проценты
  • Корни
  • Степени
  • Прогрессии
  • Текстовые задачи
  • 2. Алгебра
  • Уравнения
  • Системы уравнений
  • Неравенства
  • Системы неравенств
  • Рациональные дроби
  • Функции
  • Многочлены
  • Логарифмы
  • Экспонента
  • Задачи с параметром
  • Вероятность
  • 4. Геометрия
  • Треугольники
  • Многоугольники
  • Окружность
  • Стереометрия
  • Векторы
  • 3. Математический анализ
  • Тригонометрия
  • Предел
  • Производная
  • Интегралы
  • Студентам
  • Реклама
  • Обо мне
  • © 2010—2024 ИП Бердов Павел Николаевич
    ИНН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020
  • При использовании материалов ссылка на сайт обязательна
    Телефон: +7 (963) 963-99-33; почта: pavel@berdov.com
  • Карта сайта

  Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства

  

  Что такое логарифм

  Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.
  Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).

  Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.

  

  Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.

  

  А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.

  Тогда, если дело касается логарифма:

  

  можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?

  

  На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):

  

  Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c» . Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

  У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).

  

  Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?

  Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182. мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).

  А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).

  Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета. Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.

  Всегда, когда существует логарифм, должно быть:

  

  «Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.

  А теперь разберем теорию на практике:

  

  В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма).

  

  Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.

  

  lg — это логарифм по основанию 10. 10 нужно 3 раза умножить само на себя, чтобы получить 1000.

  

  А теперь посложнее, перейдем по определнию к показательному уравнению :

  

  Следующий пример поможет нам узнать первую формулу логарифмов:

  

  Преобразуем выражение по определению логарифма и получим показательное уравнение. Единица — это же любое значение в нулевой степени?

  Тогда можно сделать вывод, что при любом основании и аргументе логарифма, равном 1, все эти логарифмы будут равны нулю.

  

  Нетрудно тогда понять, что есть еще одно следствие:

  

  В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 2? Напряжем все свои извилины и получим — один!

  

  Дальше будут формулы, которые я позволю себе не выводить, чтобы не испугать неискушенных в математике читателей.

  Хотя мой вам совет: отследить, откуда эта формула появилась. У логарифмов самое главное помнить, что логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

  Основное логарифмическое тождество:

  

  

  

  В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9? Значит, логарифм в показателе степени равен двум.

  

  Это единственная формула, где логарифм в показатели степени. Видишь логарифм в степени? Тебе поможет только эта формула.

  Еще примерчик, двойка перед логарифмом никак не влияет, формула все так же работает:

  

  А вот квадрат в логарифме тоже быть может, только лучше сначала разложить:

  

  Дальше с этим ничего сделать не сможем.

  Дальнейшие формулы тоже уникальны, это тебе не косинус двойного угла.

  Видим сложение логарифмов, выпускаем эту формулы:

  

  

  А вот примерчик, чтобы порадовать тебя этой формулой, только наоборот:

  

  Видим разность логарифмов, выпускаем эту формулы:

  

  

  А теперь сразу сумма и разность. По отдельности логарифмы не найти, но вместе они и мы сила:

  

  Теперь посмотрим на степени у аргмента логарифма:

  

  

  

  А в основании тоже можно? Нужно!

  

  Минус два — это степень у основания:

  

  А все вместе можно? Конечно, логарифмы — это такая свобода:

  

  А здесь нужно будет соединить две формулы: 1) вынесение степени из основания и 2) разность логарифмов

  

  С основными формулами разобрались, теперь для решения более сложных уравнений/выражений.

  Формула перехода к новому основанию:

  

  Обрати внимание, чем она отличается от разности логарифмов (4). Тут мы делим один логарифм на другой, а там деление происходит под логарифмом.

  Тут все просто, разве что стоит вспомнить, что квадратный корень — это степень одна вторая.

  

  Тут первым действием воспользуемся изучаемой формулой, а дальше каждый логарифм в виде числа, потихонечку−полегонечку.

  

  Последняя формула, меняем местами аргумент и основание логарифма:

  

  Используется тоже нечасто, но если ее не знаешь, то никак не выкрутишься через другие формулы.

  

  Закрепим обе формулы. Используем формулу (9), после (8), а так же не забудь порадовать десятичные дроби — переведи их в обыкновенные, а они порадуют тебя. Теперь посмотрим еще на пару примеров:

  

  Логарифм в логарифме, что может быть прекраснее? Только решенный логарифм в логарифме.

  

  Начинаем с внутреннего:

  

  И постепенно раскрываем каждый последующий:

  

  После того, как с формулами разобрались, (а их всего 9! Согласись, несложно выучить?), перейдем к уравнениям.

  Все логарифмические уравнения решаем по одному из двух алгоритмов.

  Первый появляется из определения логарифма:

  

  Только не забываем про ОДЗ:

  

  Второй вариант, когда логарифм с одним основанием равен логарифму с точно таким же основнанием:

  

  Не забываем про ОДЗ, тогда получится:

  

  Подставив в ОДЗ x = 15, видим, что все выполняется!

  Обязательно только логарифм (без всяких множителей и т.п.) с одним основанием должен быть равен другому логарифму с таким же основанием:

  

  Здесь перед логарифмами стоят разные множители, поэтому прежде всего нужно их внести в логарифм (6 формула), а после убрать логарифмы:

  

  Если стоят одинаковые множители, их можно сократить сразу или сократить на общий множитель:

  

  Бывает, что с одной стороны уравнения есть сумма логарифмов (4) или обычное число, сокращать их сразу нельзя! Только после того, как приведем и левую, и правую часть к одному логарифму:

  

  Что же касается неравенств, убирать логарифмы можно так же, как и в уравнениях, только здесь нужно внимательно смотреть на значение оснований. Если основание логарифма лежит в диапазоне 0 < a < 1 (также как в показательных неравенствах), то после зачеркивания логарифмов знак меняется на противоположный:

  

  Если же основание а > 1, то убираем логарифмы без смены знака и дорешиваем обычное неравенство:

  

  1. Л О Г — это не три страшные буквы, а обратное действие возведению в степень.
  2. Хоть формул и целых девять, но они никак не пересекаются. Решая пример и ориентируясь в формулах, ты будешь однозначно выбирать необходимую формулу.
  3. Видишь логарифм — ищи ОДЗ и решай его в первую очередь!
  4. Решение уравнений происходит по одному из двух вариантов и больше никак.
  5. В неравенствах главное — помнить об основании логарифма, когда зачеркиваем логарифмы.
  Похожие публикации:
  1. Как включить фонарик на нокиа 6303
  2. Какие диаграммы можно расположить на 3d карте
  3. Хабы на уаз хантер какие лучше
  4. Хонда дио 34 какой аккумулятор нужен