Что называют невозможной фигурой

Невозможные фигуры

Невозможные фигуры — особый вид объектов в изобразительном искусстве. Как правило их называют так, потому что они не могут существовать в реальном мире. Драконы, эльфы, гномы также не могут существовать в реальном мире, но они не являются невозможными фигурами.

Более точно, невозможными фигурами называют геометрические объекты, нарисованные на бумаге, которые прозводят впечатление обычной проекции трехмерного объекта, однако, при внимательном рассмотрении становятся видны противоречия в соединениях элементов фигуры.

Таким образом, на изображении ниже мы видим лишь одну невозможную фигуру — невозможный треугольник. Инопланетное существо, которое держит треугольник, к невозможным фигурам не относится.

Невозможные фигуры выделяют в отдельный класс оптических иллюзий.

Невозможные конструкции известны с давних времен. Они встречаются в иконах со средних веков. «Отцом» невозможных фигур считается шведский художник Оскар Реутерсвард, который нарисовал невозможный треугольник, составленный из кубиков в 1934 году. За годы творчества он придумал и нарисовал несколько тысяч невозможных фигур.

Известны широкой публике невозможные фигуры стали в 50-х годах прошлого века, после публикации статьи Роджера Пенроуза и Лайонела Пенроуза в Британском журнале психологии, в которой были описаны две базовые фигуры — невозможный треугольник (который также называют треугольником Пенроуза) и бесконечная лестница. Эта статья попала в руки известного голландского художника М.К. Эшера, который вдохновленный идеей невозможных фигур создал свои знаменитые литографии «Водопад», «Восхождение и спуск» и «Бельведер». Вслед за ним огромное количество художников по всему миру стали использовать невозможные фигуры в своем творчестве. Наиболее известны среди них Жос де Мей, Сандро дель Пре, Оштван Орос. Работы этих, а также других художников, выделяют в отдельное направление изобразительного искусства — «имп-арт», от английских слов impossible («невозможный») и art («искусство»).

Может показаться, что невозможные фигуры действительно не могут существовать в трехмерном пространстве. Есть определенные способы, которые позволяют воспроизвести невозможные фигуры в реальном мире, правда они будут выглядет невозможными только с одной точки обзора. С других точек обзора видны искажения и разрывы в фигуре.

© Идея и дизайн Влада Алексеева, 2001-2024. ( impossible.world@gmail.com ) | Политика конфиденциальности
Перепечатка материалов сайта приветствуется со ссылкой на сайт.
Если у вас есть изображения невозможных фигур, неопубликованных на сайте, пожалуйста, присылайте их мне.

Невозможные фигуры, особенности их восприятия и применение

Щербинина, Е. А. Невозможные фигуры, особенности их восприятия и применение / Е. А. Щербинина, Д. П. Никифорова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2019. — № 9 (247). — С. 75-83. — URL: https://moluch.ru/archive/247/33195/ (дата обращения: 11.03.2024).

В нынешнее время довольно часто встречаются фотографии, эпизоды из кинематографа, здания, изображения, при виде которых можно воскликнуть «Такого не может быть!». Это и рисунки с искаженной перспективой, и невозможные в нашем трехмерном мире объекты, и немыслимые сочетания вполне реальных предметов. Появившись в начале XI века, такие «странные» рисунки и фотографии сегодня стали целым направлением искусства и архитектуры. Так же школьном курсе изучаются выпуклые и невыпуклые многогранники. В кабинете математики есть невыпуклый многогранник, который называется Флексор Штеффена, данный многогранник создан руками ученика, окончившего нашу школу, и поэтому, увидев данный многогранник, я поставила себе цель, а существуют ли еще многогранники и другие невозможные фигуры, которые можно создать своими руками. [1]

Многогранник (многогранная поверхность) называется изгибаемым, если его пространственную форму можно изменить такой непрерывной во времени деформацией, при которой каждая грань не изменяет своих размеров (то есть движется как твёрдое тело), а деформация осуществляется только за счёт непрерывного изменения двугранных углов. Такая деформация называется непрерывным изгибанием многогранника [2]. (приложение 1)

До сих пор не существует чёткого определения невозможных фигур. [3].

Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры.

Невозможные фигуры — это геометрически противоречивые изображения объектов, не существующих в реальном трёхмерном пространстве. Невозможность возникает из противоречия между подсознательно воспринимаемой геометрией изображённого пространства и формально-математической геометрией. [2] Невозможные фигуры представлены на Рисунке 1

Рис. 1. Изгибаемые многогранники

Невозможные фигуры были известны ещё в Средневековье, но систематическое их изучение началось лишь в середине XX века. Создателями невозможных фигур называют Оскара Реутерсварда и Роджера Пенроуза [2].

При проецировании трехмерной фигуры на плоскость некоторые линии могут становиться невидимыми, перекрывать друг друга. В качестве примера можно взять знаменитый треугольник Пенроуза, Таблица 1

Создание треугольник Пенроуза

Примечание:

Результат

Предположим, что треугольник Пенроуза можно создать из обычных трёх брусков бумаги

В ходе эксперимента было получено 3 одинаковых бруска из обычной бумаги А4. В ходе склеивания модели, бумага потерпело искажение, тем самым произошло нарушение граней.

Вывод: Невозможно создать треугольник Пенроуза из обычных равных брусков

Но! Треугольник Пенроуза можно создать, если учесть особенность построения фигуры, и согласно определению, линии, невидимые глазу можно исказить. При таком условии, треугольник Пенроуза можно сделать в объёме

Многие люди думают, что невозможные фигуры действительно невозможны, и их нельзя увидеть в реальном мире. На самом деле их можно увидеть в реальности. Надо помнить, что любой рисунок на листе бумаги — это проекция трехмерной фигуры. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги должна существовать в трехмерном пространстве [4].

Конечно, ни одну из невозможных фигур нельзя создать, действуя прямолинейно. Но можно взять три различных бруска и составить треугольник, представленный на Рисунке 2 [4].

Рис. 2. Треугольник Пенроуза

В зеркале мы видим реальную фигуру. Получается, что приведенная фигура выглядит невозможным треугольником только с единственной точки зрения. Это касается всех невозможных фигур [4].

Области применения невозможных фигур разнообразно. В современном мире они окружают нас практически повсюду. Применение невозможных фигур представлены в Таблице 2.

Области применения невозможных фигур

Область применения

Изображение

В Иконописи: Христианство очень редко использовало модели несуществующих фигур, но их изображения часто встречаются на иконах и фресках. Самым известным из них является изображение невозможного треугольника, расположенного на экране перед алтарем. Он находится в церкви Святой Троицы, простроенной бенединскими монахами с 1150 по 1550 годы. На фресках обычно — это невозможная колоннада. В качестве примера можно привести изображение «Мадонна с младенцем» с миниатюры из книги Генриха II.

В искусстве: Широко известны картины с невозможными фигурами художников, работавших, начиная со средних веков до середины прошлого века.

В филателистке. В 1982 году по заказу правительства Швеции Оскаром Реутерсвардом были выполнены марки с изображениями невозможных фигур. Они выпускались ограниченным тиражом, сегодня являются большой редкостью и пользуются большим спросом

Символика. Невозможные фигуры часто можно встретить в качестве изображений на часах, кружках, футболках.

В архитектуре. Вкачестве примера невозможных фигур в архитектуре можно привести Кубические дома. Они были построены в 1984 году в Роттердаме (Нидерланды) архитектором Пиетом Бломом. Дома развернуты на угол в 45 градусов и расположены по шестиугольной сетке. Конструкция состоит из 32 кубов. Каждый кубический дом состоит из четырех этажей. Крыши домов, окрашенные в белый и серый. Этот комплекс зданий обладает одним интересным свойством. С высоты птичьего полета здания образуют конструкцию, выглядящую как невозможная фигура.

Кубические дома

В кинематографе. Невозможные фигуры приобретают всё большую популярность. Во многом, с моей точки зрения, это заслуга М. К. Эшера. Его работа «Относительность» послужила основой для очень многих сюжетов. Самым, пожалуй, известным является мультсериал «Симпсоны». В эпизоде» Treehouse of Horror VIII» Лиза Симпсон находит невозможный объект, выставленный на продажу, который является ничем иным как невозможным трезубцем.

Аватар

Для полного анализа невозможных фигур было проведено ряд исследований.

Опыт 1. Создание невозможной фигуры по фотографии, найденной в интернете [5]. Эксперимент представлен в Таблице 3.

Создание невозможной фигуры из карандашей. Опыт 1

Примечание

Изображение

Данную картинку можно найти на просторах интернета. Карандаши, равного размера сплетены в единую конструкцию.

Взяв за основу 4 деревянных палочки, одинакового размера, было создано сплетение их по образцу. При сближении к центру, в результате одна палочка была переломлена. На фотографии представлено максимально возможное сближение палочек в данной конструкции

Опыт 2. Создание знаменитой невозможной фигуры — ленты Мёбиуса. Эксперимент представлен в Таблице 4.

Создание невозможной фигуры «Лента Мёбиуса». Опыт 2

Примечание

Изображение

Лента Мёбиуса — самая знаменитая невозможная фигура. Суть этой фигуры, что она в пол оборота завернута. Её невозможно выпрямить и вывернуть.

Создание данной невозможной фигуры — возможно. Сделать её может каждый, и при этом не зная её названия, многие уже воспроизводили её. Лента может быть из любого материала, который можно с одной стороны на один раз свернуть.

Опыт 3. Изучив материал по данной теме [6], был составлен чертёж невозможной фигуры. Эксперимент представлен в Таблице 5.

Создание невозможной фигуры «Лента Мёбиуса». Опыт 3

Примечание

Изображение

Чертёж невозможной фигуры, с расчетом размеров и количества элементов для создания модели из плотной бумаги формата А4.

То что мы видим на картинке скрывает многое с обратной стороны. Искажения, тени, постановка объектов — всё это влияет на построение 3D фигуры. Но невозможные фигуры — возможно создать, нужно только время и терпение. Одна из важных частей невозможных фигур — это иллюзии.

Был проведен опрос среди выпускников школы. В ходе исследования приняло участие 86 человек.

Вопрос 1. Вы что-нибудь знаете о невозможных фигурах? Результаты опроса представлены на Рисунке 3.

Многие выпускники знают о том, что такое невозможная фигура. Кто-то знает определения, а кто-то виды и применение этих фигур. Так что ученики школы имеют представление о этих фигурах.

Рис. 3. Вы что-нибудь знаете о невозможных фигурах?

Вопрос 2. Где Вы встречались с невозможными фигурами? Результаты опроса представлены на Рисунке 4.

По результатам анкетирования видно, что иллюзии и невозможные фигуры в основном встречаются в интернете. Именно там многие из выпускников с ними впервые и познакомились. Так же и в реальной жизни наблюдательные подростки замечают невозможные фигуры

Рис. 4. Где Вы встречались с невозможными фигурами?

Вопрос 3. Пытались ли вы создать невозможную фигуру? Результаты опроса представлены на Рисунке 5.

40 % выпускников не только увлечены и знают о существовании невозможных фигур, так же они пытались сотворить некоторые из них своими руками. Это свидетельствует о том, что данная тема распространена и увлекает своей «невозможностью» людей, которые хотят проверить самим возможно ли создать фигуры или нет.

Рис. 5. Пытались ли вы создать невозможную фигуру?

Вопрос 4. Интересно ли вам рассматривать невозможные фигуры и иллюзии? Результаты опроса представлены на Рисунке 6.

75 % выпускников рассматривают невозможные фигуры и ими увлечены. Это показывает то, что данные фигуры очень редко обходят и взгляд к ним приковывается, что подтверждает еще раз Вопрос 3

Рис. 6. Интересно ли вам рассматривать невозможные фигуры и иллюзии?

Вопрос 5. Смотрите ли вы фильмы 3D, в которых существует мир иллюзий? Результаты опроса представлены на Рисунке 7.

Во время исследования, опрошенные задавали вопросы, что имеется в виду по «иллюзиями» в 3D фильмах. Многие и не знали, что подвергаются иллюзиям, точнее не знали, что 3D эффект и называется иллюзией.

Рис. 7. Смотрите ли вы фильмы 3D, в которых существует мир иллюзий?

Вопрос 6. Считаете ли вы, что невозможные фигуры — это неотъемлемая часть современного архитектора? Результаты опроса представлены на Рисунке 8.

Практически все опрошенные считают, что невозможные фигуры являются неотъемлемой частью архитектора, — это подчёркивает то, что данная тема актуальна в наше время.

Рис. 8. Считаете ли вы, что невозможные фигуры — это неотъемлемая часть современного архитектора?

Вопрос 7. Возможно ли создать данную фигуру? Результаты опроса представлены в Таблице 6

Ответы разделились поровну. 50 % считает, что данная невозможная фигура — невозможна. Из этого следует, что они не знают о невидимых линиях, и искажениях.

Возможно ли создать данную фигуру?

Представленное изображение невозможной фигуры

Вопрос 8. Что вы видите на фотографии? Результаты опроса представлены в Таблице 7

Данное изображение показывалось ровно 7 секунд. Видения различались. Это доказывает то, что каждый человек по-своему смотрит на иллюзии. Но треть увидела два элемента на рисунке, а половина из этих увидели все три элемента сразу.

Что вы видите на фотографии?

В результате проведенного опроса можно сделать вывод насколько восприятие человека разница. В данном опросе не учитывалась половая принадлежность. Опрошенные многие не только знают о невозможных фигурах, но и сталкивались с ними, и многим данная область вызывает интерес. Восприятие зависит от многих факторов, которые в работе не были учтены: свет, возраст, время, предпочтения опрошенных, а также внимания.

Эта тема актуальна в настоящее время. Изучение невозможных фигур имеет довольно важное значение не только с точки зрения геометрии, но и с точки зрения искусства. Они широко используются в современной рекламе, промышленной графике, плакате, оформительском искусстве и логотипах различных фирм.

Невозможные фигуры, пожалуй, самые завораживающие из всех существующих оптических иллюзий.

Литература:

1. ЛитМир. Электронная Библиотека. Книга «Оптические иллюзии» Автор: Сик Эл http://www.litmir.co/bd/?b=276199http://konenko.net/imp.htm —

2. Сайт «Невозможный мир» http://im-possible.info/russian/articles/

1. Статья «Математическое описание невозможных фигур» http://log-in.ru/articles/matematicheskoe-opisanie-nevozmozhnykh-figur/
2. Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова. Факультет психологии. http://www.psy.msu.ru/illusion/
3. Детский сайт невозможных фигур «Затеево» http://zateevo.ru/?alias=nevozmozny_figury&section=page
4. Страна Мастеров. Развёртки невозможных фигур. http://stranamasterov.ru/node/162676

Основные термины (генерируются автоматически): фигура, невозможная фигура, результат опроса, таблица, изображение, рисунок, иллюзия, невозможный треугольник, неотъемлемая часть, современный архитектор.

Похожие статьи

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий.

При этом составляется таблица, включающая столбцы с названиями тела, количество вершин, количество граней, количество ребер, сумма

При изучени многогранников большую пользу приносит классификация многогранников. При этом многогранник определяется как часть.

• Как издать спецвыпуск?
• Правила оформления статей
• Оплата и скидки

Похожие статьи

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий.

При этом составляется таблица, включающая столбцы с названиями тела, количество вершин, количество граней, количество ребер, сумма

При изучени многогранников большую пользу приносит классификация многогранников. При этом многогранник определяется как часть.

Что такое «невозможные фигуры»? Кто их придумал и впервые изобразил?

Наши глаза познавать не умеют природу предметов.
А потому не навязывай им заблуждений рассудка.

Тит Лукреций Кар

На самом деле, все невозможные фигуры могут существовать в реальном мире.

Так, все объекты, нарисованные на бумаге, являются проекциями трехмерных объектов, следовательно, можно создать такой трехмерный объект, который при проецировании на плоскость будет выглядеть невозможным.
Соответственно, при обзоре такого объекта с определенного угла обзора, он также будет выглядеть невозможным, но при обзоре с любой другой точки эффект невозможности будет теряться.

Картины с искаженной перспективой встречаются уже в начале первого тысячелетия.
На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована Мадонна с младенцем. На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект сюрреалистичности. Мы, к сожалению, никогда не узнаем, был ли этот прием сознательным поступком художника или же его ошибкой.

Изображения невозможных фигур, не как сознательное направление в живописи, а как приемы, усиливающие эффект от восприятия изображения, встречаются у ряда живописцев Средних веков.
На полотне Питера Брейгеля (Pieter Breughel) «Сорока на виселице», созданном в 1568 году, видна виселица невозможной конструкции, которая придает эффект всей картине в целом. На широко известной гравюре английского художника XVIII века Вильяма Хогарта (William Hogarth) «Фальшивая перспектива» показано, к какому абсурду может привести художника незнание законов перспективы.

Самую известную классическую фигуру «Невозможный треугольник» английский математик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) сотворил в 1954 году.

Он использовал линейную перспективу, а не параллельную, как Рутесвард, что придало картине глубину и выразительность и, следовательно, большую степень невозможности.
Наиболее известным художником имп-арта стал М. К. Эшер (M. C. Escher).
Среди наиболее известных его произведений — картины «Водопад» («Waterfall») (1961) и «Восхождение и спуск» («Ascending and Descending»).

На полотне изображены два ряда человечков: при движении по часовой стрелке человечки постоянно поднимаются, а при движении против часовой стрелки спускаются.

Источник: Оскар Рутесвард рассказывает в книге «Omojliga figurer» об использовании рисунков имп-арта для психотерапии. Он пишет, что картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать. В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога. http://www.osp.ru/pcworld/2003/09/166410/ http://nkj.ru/archive/articles/1761/ http://dm-kalashnikov.livejournal.com/75808.html

Остальные ответы

Невозможные фигуры — это геометрически противоречивые изображения объектов, не существующих в реальном трёхмерном пространстве. Невозможность возникает из противоречия между подсознательно воспринимаемой геометрией изображённого пространства и формально-математической геометрией.
Многие считают, что невозможные фигуры действительно невозможны, и они не могут быть созданы в реальном мире. Однако из школьного курса геометрии нам известно, что чертеж, изображенный на листе бумаги, является проекцией трехмерной фигуры на плоскость. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги должна существовать в трехмерном пространстве. Причем трехмерных объектов, при проецировании на плоскость которых, получается заданная плоская фигура бесконечное множество. Это же относится и к невозможным фигурам.

«Отцом» невозможных фигур является шведский художник Оскар Реутерсвард, который за годы своего творчества нарисовал тысячи таких фигур. Но настоящую известность невозможные фигуры обрели, когда их изобразил на своих литографиях известный голландский художник Мауриц Корнелис Эшер.

Что называют невозможной фигурой

II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

• Главная
• Список секций
• Математика
• НЕВОЗМОЖНЫЕ ФИГУРЫ

НЕВОЗМОЖНЫЕ ФИГУРЫ

Лановой Р.А. 1
Терентьева О.В. 1

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

С некоторых пор меня заинтересовали такие фигуры, которые на первый взгляд кажутся обычными, а присмотревшись можно увидеть, что что-то в них не так. Основной интерес для меня представляли так называемые невозможные фигуры, посмотрев на которые создается впечатление, что существовать в реальном мире они не могут. Я захотел узнать о них больше.

«Мир невозможных фигур» одна из интереснейших тем, которая получила свое бурное развитее всего лишь в начале ХХ века. Однако, гораздо раньше, многие ученые и философы занимались этим вопросом. Даже такие простые объемные формы, как куб, пирамида, параллелепипед можно представить как комбинацию нескольких фигур, находящихся на разном расстоянии от глаза наблюдателя. Всегда при этом должна быть линия, по которой изображение отдельных частей совмещающих в целостную картину.

«Невозможная фигура — это выполненный на бумаге трехмерный объект, который не может существовать в действительности, но который, однако, можно видеть как двухмерное изображение». Это один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве.

Передо мной встал вопрос: «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?»

Цели проекта:

1.Выяснить, как создаются нереальные фигуры.

2. Найти области применения невозможных фигур.

1.Изучить литературы по теме «Невозможные фигуры».

2.Составить классификацию невозможных фигур.

3.Рассмотреть способы построения невозможных фигур.

4.Создать невозможную фигуру.

Тема моей работы актуальна ведь понимание парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с нереальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И для развития пространственного воображения оказываются полезными невозможные фигуры. Человек неустанно мысленно создает вокруг себя то, что для него будет просто и понятно. Он даже не может себе представить, что некоторые объекты, окружающие его, могут быть «невозможными». На самом деле мир един, но рассматривать его можно с разных сторон.

Немного истории

Невозможные фигуры достаточно часто встречаются на древних гравюрах, картинах и иконах — в одних случаях мы имеем с явными ошибками передачи перспективы, в других — с умышленными искажениями, обусловленными художественным замыслом.

В средневековой японской и персидской живописи невозможные объекты являются неотъемлемой частью восточного художественного стиля, дающего лишь общий набросок картины, детали которой «приходится» додумывать зрителю самостоятельно, в соответствии со своими предпочтениями. Вот перед нами школа. Наше внимание привлекает архитектурное сооружение на заднем плане, геометрическая противоречивость которого очевидна. Его можно интерпретировать и как внутреннюю стену комнаты, и как наружную стену здания, но обе эти интерпретации неправильны, поскольку мы имеем дело с плоскостью, одновременно являющуюся и внешней, и наружной стенкой, то есть на картине изображен типичный невозможный объект.

Картины с искаженной перспективой встречаются уже в начале первого тысячелетия. На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована Мадонна с младенцем. На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект нереальности.

Виды невозможных фигур.

«Невозможные фигуры» делятся на 4 группы. Итак, первая:

Удивительный треугольник – трибар.

Эта – фигура – возможно первый опубликованный в печати невозможный объект. Она появилась в 1958 году. Её авторы, отец и сын Лайонелл и Роджер Пенроузы, генетик и математик соответственно, определили этот объект как «трехмерную прямоугольную структуру». Она также получила название «трибар». С первого взгляда трибар кажется просто изображением равностороннего треугольника. Но стороны, сходящиеся вверху рисунка, кажутся перпендикулярными. В тоже время левая и правая грани внизу тоже кажутся перпендикулярными. Если смотреть на каждую деталь отдельно, то она кажется реальной, но, в общем, эта фигура существовать не может. Она не деформирована, но при черчении были неправильно соединены правильные элементы.

Вот еще несколько примеров невозможных фигур на основе трибара.

Тройной деформированный трибар

Треугольник из 12 кубов

Бесконечная лестница

Эту фигуру чаще всего называют «Бесконечной лестницей», «Вечной лестницей» или «Лестницей Пенроуза» – по имени ее создателя. Ее также называют «непрерывно восходящей и нисходящей тропой».

Впервые эта фигура была опубликована в 1958 году. Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом, человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути.

«Бесконечной лестницей» с успехом воспользовался художник Мауриц К. Эшер, на этот раз в своей литографии «Восхождение и нисхождение», созданной в 1960 году.

Лестница с четырьмя или семью ступеньками. На создание этой фигуры с большим количеством ступенек автора могла вдохновить куча обыкновенных железнодорожных шпал. Собравшись взобраться на эту лестницу, вы будете стоять перед выбором: подняться ли по четырем или по семи ступенькам.

Создатели этой лестницы воспользовались параллельными линиями при разработке конечных деталей блоков, находящихся на одинаковом расстоянии; кажется, что некоторые блоки перекручиваются, чтобы соответствовать иллюзии.

Космическая вилка.

Следующая группа фигур под общим названием «Космическая вилка». С этой фигурой мы входим в самую сердцевину и суть невозможного. Может быть, это самый многочисленный класс невозможных объектов.

Этот пресловутый невозможный объект с тремя (или с двумя?) зубцами стал популярен у инженеров и любителей головоломок в 1964 году. Первая публикация, посвященная необычной фигуре, появилась в декабре 1964 года. Автор назвал ее «Скобой, состоящей из трех элементов».

С практической точки зрения этот странный трезубец или механизм в виде скобы, абсолютно неприменим. Некоторые называют его просто «досадной ошибкой». Один из представителей аэрокосмической промышленности предложил использовать его свойства при конструировании межпространственного космического камертона.

Башня с четырьмя колоннами-близнецами.

Невозможные ящики

Еще один невозможный объект появился в 1966 году в Чикаго в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф. Кокрана. Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с «Сумасшедшим ящиком». Первоначально автор назвал ее «Свободным ящиком» и заявил, что она была «сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве».

«Сумасшедший ящик» – это вывернутый наизнанку каркас куба. Непосредственным предшественником «Сумасшедшего ящика» была «Невозможная коробка» (автор Эшер), а ее предшественником в свою очередь стал куб Неккера.

Он не является невозможным объектом, однако представляет собой фигуру, в которой параметр глубины может восприниматься неоднозначно.

Когда мы вглядываемся в куб Неккера, то замечаем, что грань с точкой находится то на переднем, то на заднем плане, она перепрыгивает из одного положения в другое.

Оскар Рутерсвард – отец невозможной фигуры.

«Отцом» невозможных фигур считается шведский художник Оскар Рутерсвард. Шведский художник Оскар Рутерсвард, специалист по созданию изображений невозможных фигур утверждал, что плохо разбирается в математике, но, тем не менее, возвел свое искусство в ранг науки, создав целую теорию создания невозможных фигур по определенному ряду шаблонов.

Он разделил фигуры на две основные группы. Один из них он назвал «истинные невозможные фигуры». Это двухмерные изображения трёхмерных тел, которые на бумаге можно раскрасить и нанести на них тени, но у них нет монолитной и стабильной глубины.

Другой вид – сомнительные невозможные фигуры. Эти фигуры не представляют собой единых цельных тел. Они являются соединением двух или большего числа фигур. Их нельзя ни раскрасить, ни нанести на них свет и тени.

Истинная невозможная фигура состоит из фиксированного количества возможных элементов, а сомнительная «теряет» некоторое количество элементов, если за ними проследить глазами.

Один вариант этих невозможных фигур очень легко выполнить, и многие из тех, кто машинально чертит геометрические

фигуры, когда разговаривает по телефону, это уже не раз делали. Нужно провести пять, шесть или семь параллельных линий, закончить эти линии в разных концах по-разному – и невозможная фигура готова. Если, например, провести пять параллельных линий, то их можно закончить как две балки с одной стороны и три с другой.

На рисунке мы видим три варианта сомнительных невозможных фигур. Слева трех-семибалочник, построенный из семи линий, в котором три балки превращаются в семь. Фигура в середине, построенная из трех линий, в которой одна балка превращается в два круглых бруса. Фигура справа, построенная из четырех линий, в которой два круглых бруса превращаются в две балки

За свою жизнь Рутерсвард изобразил около 2500 фигур. Книги Рутерсварда опубликованы на многих языках, в том числе на русском.

Невозможные фигуры — возможны!

Многие полагают, что невозможные фигуры действительно невозможны, и их нельзя создать в реальном мире. Но надо помнить, что любой рисунок на листе бумаги — это проекция трехмерной фигуры. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги, должна существовать в трехмерном пространстве. Невозможные объекты на картинах представляют собой проекции трехмерных объектов, а значит, объекты можно реализовать в виде скульптурных композиций. Существует множество способов их создания. Один из них — использование кривых линий в качестве сторон невозможного треугольника. Созданная скульптура выглядит невозможной только из единственной точки. Из этой точки кривые стороны выглядят прямыми, и поставленная цель будет достигнута — создан реальный «невозможный » объект.

Русский художник Анатолий Коненко, наш современник, разделил невозможные фигуры на 2 класса: одни можно смоделировать в реальности, а другие – нельзя. Модели невозможных фигур называются моделями Амес.

Я изготовил модель Амес своего невозможного ящика. Я взял сорок два кубика и склеил их, получился куб, в котором часть ребра отсутствует. Отмечу, что для создания полной иллюзии необходим правильный угол зрения и верное освещение.

Я изучил невозможные фигуры с применением теоремы Эйлера и пришёл к следующему выводу: теорема Эйлера, верная для любого выпуклого многогранника, неверна для невозможных фигур, но верна для их моделей Амес.

Я создаю свои невозможные фигуры, пользуясь советом О.Рутерсварда. Я начертил на бумаге семь параллельных отрезков. Соединил их снизу ломаной линией, а сверху придал им форму параллелепипедов. Посмотрите на нее сначала сверху потом снизу. Таких фигур можно придумать бесконечно много. См. приложение.

Применение невозможных фигур

Невозможные фигуры находят иногда неожиданное применение. Оскар Рутерсвард рассказывает в книге «Omojliga figurer» об использовании рисунков имп-арта для психотерапии. Он пишет, что картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать. Психолог Роджер Шепард использовал идею трезубца для своей картины невозможного слона.

В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога.

Невозможные фигуры вдохновили художников на создание целого нового направления в живописи, названного импоссибилизмом. К импоссибилистам относят голландского художника Эшера . Его перу принадлежат известные литографии «Водопад», «Восхождение и нисхождение» и «Бельведер». Художник использовал эффект «бесконечной лестницы», открытый Рутесвардом.

За рубежом, на улицах городов, мы можем увидеть архитектурные воплощения невозможных фигур.

Наиболее известное использование невозможных фигур в массовой культуре — логотип автоконцерна «Рено»

Математики утверждают, что и дворцы, в которых можно спуститься вниз по лестнице, ведущей вверх, могут существовать. Для этого нужно лишь построить такое сооружение не в трехмерном, а, скажем, в четырехмерном пространстве. А уж в виртуальном мире, который открывает нам современная компьютерная техника, и не такое можно натворить. Вот так в наши дни осуществляются задумки человека, который еще на заре века поверил в существование невозможных миров.

Заключение.

Невозможные фигуры заставляют наш разум сначала увидеть то, чего быть не должно, затем искать ответ — что же сделано не так, в чем скрыта изюминка парадокса. А ответ найти порой не так — то просто — он скрыт в оптическом, психологическом, логическом восприятии рисунков.

Развитие науки, необходимость мыслить по-новому, поиски прекрасного — все эти требования современной жизни заставляют искать новые методы, которые способны изменить пространственное мышление, воображение.

Изучив литературу по теме, я смог ответить на вопрос «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?» Я понял, что невозможное возможно и нереальные фигуры можно сделать своими руками. Я создал модель Амес «Невозможного куба» и проверил на нем теорему Эйлера. Рассмотрев способы построения невозможных фигур, я смог нарисовать свои невозможные фигуры. Мне удалось показать, что

Вывод1: Все невозможные фигуры могут существовать в реальном мире.

Вывод2: Теорема Эйлера, верная для любого выпуклого многогранника, неверна для невозможных фигур, но верна для их моделей Амес.

Вывод3: Найдется ещё много областей, в которых будут использоваться невозможные фигуры.

Таким образом, можно сказать, что мир невозможных фигур чрезвычайно интересен и многообразен. Изучение невозможных фигур имеет довольно важное значение с точки зрения геометрии. Работа может быть использована на занятиях по математике для развития пространственного мышления учащихся. Для творческих людей, склонных к изобретательству, невозможные фигуры являются своеобразным рычагом для создания чего-то нового, необычного.

Список литературы

1. Левитин Карл Геометрическая рапсодия. — М.: Знание, 1984, -176 с.
2. Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, с.26
3. Реутерсвард О. Невозможные фигуры. – М.: Стройиздат,1990, 206 с.
4. Ткачева М.В. Вращающиеся кубики. – М.: Дрофа, 2002. – 168 с.
5. Интернет ресурсы.