Как строить афчх вручную

3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического регулирования. 3.5 Колебательное звено

Колебательное звено является наиболее интересным случаем из всех типовых звеньев, во-первых, за счет “сильной похожести” по своим динамическим свойствам на более сложные реальные САУ САР, во-вторых, близкой идентичности переходных процессов в звене к аналогичным в реальных САР, и, в-третьих, существенной зависимости динамических свойств от величины параметра звена.

Выведем формулу колебательного звена на примере электрического колебательного контура, который изучают в курсе школьной физики. Пример такого контура приведен на рисунке 3.5.1

Электрическая цепь содержит источник напряжения и последовательно соединённые индуктивность, сопротивление, конденсатор.

Входное ступенчатое воздействие xt, формирующее внешнюю Э.Д.С в цепи, подключено к блоку «источнику напряжения» хt = Uвхt.

Результирующий отклик звена — напряжение на конденсаторе yt = Uсt = Uвыхt.

Согласно второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, сумма Э.Д.С равна сумме напряжения на резистивных элементах контура.

— ЭДС индукции на катушке, направленопротивизменениятока;

— падение напряжении на сопротивлении.

Поскольку в замкнутом контуре сила тока одинакова на всех элементах, перепишем уравнения, выразив силу тока через напряжение на конденсаторе. Сила тока в цепи равна изменению заряда конденсатора:

Тогда сила тока в цепи связана с напряжение на конденсаторе соотношением:

После замены силы тока, ее выражением через получим следующие выражение:

Заменив и получим уравнение колебательного звена:

Уравнение динамики звена описывается уравнением, аналогичным рассмотренном в предыдущем разделе (апериодическое звено второго порядка):

Учитывая, что , удобнее представить уравнение динамики в другой форме, а именно:

Введем новые параметры: и , где — параметр (коэффициент) затухания (демпфирования).

Подставляя новые параметры в (3.5.1):

Уравнение 3.5.2 — наиболее удобная форма представления уравнения динамики.

Перейдем к изображениям: и уравнение динамики в изображениях Лапласа:

Передаточная функции колебательного звена:

Еще раз подчеркнем, что параметр (коэффициент) затухания (демпфирования) , причем при свойства колебательного звена совпадают с аналогичными свойствами соответствующего апериодического звена 2-го порядка, а при звено выражается в консервативное, в котором могут существовать незатухающие гармонические колебания.

Выражение для АФЧХ получается после подстановки в (3.5.3) значения :

Домножим числитель и знаменатель формулы 3.5.4 на компексно сопряженное выражения для знаменателя :

Выражения для вещественной и мнимой частей принимают вид:

Амплитуда АФЧХ

Сдвиг фазы

Анализ формул (3.5.5 − 3.5.8) показывает, что:

Одной из главных особенностей АФЧХ является возможность существования экстремума в зависимости A(ω). Выполним исследование на экстремум:

Очевидно что, для того, что бы выражение равнялось нулю необходиом равенство нлую следующего выражения:

Отсюда вырражение для экстермума:

Очевидно, что существует если

Если , то заивисмость имеет экстремум.

Если , экстремума в заивсимости нет.

Вычислим максимальное значение , под ставим выражение для 3.5.10 в формулу 3.5.7, получим:

Анализ вышеприведенных соотношений показывает, что при график имеет горб, который при уменьшении растет и при , что означает разрыв в зависимости .

Частоту ω_м будем отождествлять с тем значением частоты входного гармонического воздействия, при которой имеет место максимальное значение амплитуды выходного сигнала.

Поскольку , то очевидна роль постоянных времени :

– ‘раскачивает’ колебания, а − ‘демпфирует’ их. Рассмотрим соответствующие графики:

Данные графики аналогичны для случаев резонансов в теоретической механике, физике, электротехнике и т.д.

Величину принято называть частотой свободных колебаний и обозначать ω₀.

Рассмотрим колебательное звено в котором β = 0. Очевидно, что в данном звене при ступечатом воздействии устанавливаются незатухающие колебания, а само звено вырождается в консервативное. При этом согласно формуле 3.5.10 выражение экстремума для такого звена:

Величину принято называть частотой свободных колебаний и обозначать ω₀.

Подставляя различные значения ω в формулу (3.5.5) или (3.5.6) построим годограф АФЧХ на комплексной плоскости:

Построение ЛАХ ≡Lm(ω) не может быть сделано так же просто, как для предыдущих позиционных звеньев, т.е. она не сводится к комбинации отрезков прямых.

Будем использовать для построения графика ЛАХ нормированную (безразмерную) частоту , где — частота свободных колебаний, имеющим место в консервативном звене со следующим уравнением динамики:

Решим данное уравнение динамики, используя корни характеристического уравнения :

На этом месте у меня всегда выносится мозг, как могут прыгающие на пружинке шарике, и электроны в электрическом контуре, описаны с помощью одиникового выражения, формулы синуса — соотношения стороно в прямоугольном треуголнике. Как это работает?!

Введя новую переменную в выражение для Lm(ω) = 20 lg (А(ω)):

Таким образом мы получаем выражение, которое не зависит от Т. Такая форма представления позволяет ‘свести’ различные ЛАХ при различных Т к автомодельному (‘универсальному’) виду графиков.

На рисунке ниже представлен график Lm(ω) в форме (3.5.12), построенный фактически в логарифмических координатах, причем коэффициент усиления K=1.

Подчеркнем, что при такой форме представления все ЛАХ при различных T₁и T₂ можно “собирать вместе”.

Величина H_m (см. рис. 3.5.6) называется превышением:

Если , то в упрощенных расчетах величину превышения H_m можно оценить, как:

при ω=ω_m (эта формула работает для ярко выраженных горбов).

Вычислим переходную функцию звена h(t):

Для вычисления переходной функции воспользуемся формулой Хэвисайда сначала найдем полюса

По формуле Хэвисайда

Разберем отдельно каждый предел:

Для вычисления 2-го и 3-го предела в формуле Хэвисайда более удобно использовать новые переменные m и n:

Тогда корни выраженные через переменные m и n будут записаны как:

Разложим квадратный трех член в скобках в занаментели на множетели и использованием корней :

тогда 2-й предел в фомуле Хевисайда можно записать как:

домножая на комплексно сопряженное число числитель и знаменатель получим значение второго предела:

Анологично 3-й предел в формуле Хевисайда можно записать как:

домножая на комплексно сопряженное число , числитель и знаменатель получим значение третьего предела:

Отдельно сложим второе и третье слогаемое в формуле Хевисайда:

подставляя значения n и m:

и собирая все слагаемые формулы 3.5.15 получаем:

Введем новую переменную и перепишем формулу для переходной функции:

Величина называется частотой собственной колебаний при .

Таким образом в описании колебательного звена появилось три “новых” частоты

• — частота свободных колебаний;
• — частота, соответствующая максимальной амплитуде;
• — частота собственных колебаний.

Рассмотрим предельные случаи для β (т.е. β = 1 и β = 0):

3.5.17 — переходная функция консервативного звена.

Если , то , т.е. собственных колебаний в звене нет, процесс без колебательный. В этом случае возникают трудности со вторым слагаемым в круглых скобках формулы (3.5.16).

Раскрываем неопределенность типа :

эта формула соответствует также аналогичной формуле для апериодического звена 2-го порядка при D = 0 (совпадающие полюса).

Дифференцируя во времени формулы (3.5.16 − 3.5.18), найдем соответствующие весовые функции для крайних значений (w(t)):

Примерами колебательного звена можно считать:

1. R − C − L – цепь см. начало статьи;
2. Упругие механические передачи;
3. Гироскопический “маятник”;
4. Управляемый двигатель постоянного тока (при некоторых условиях).

Пример

В качестве примера для исследования колебательного звена возьмем электрический колебательный контур, который был рассмотрен в начале статьи и сравним его с моделью колебательного звена. Модель контура представлена на рисунке 3.5.13:

Схема модели содержит в себе:

1. модель электрического контура в виде электрической схемы;
2. модель контура в виде колебательного звена.

Параметры электрической схемы задаются в виде общих сигналов проекта. См. рис. 3.5.14:

В общем скрипте проекта выполняется вычисление постоянной времени T и коэффициента демпфирования

Для сравнения модели в виде электрической схемы и модели в виде колебательного звена, выполним моделирование ступенчатого возрастания напряжения, с 0 до 1 В.

Выполним гармонический анализ данной модели, аналогично тому, как мы это делали для модели демпфера и камеры смешения реактора демпфера.

На графике рис. 3.5.16 видно возникновение колебательного процесса и его затухание с течением времени. График на рис. 3.5.17 показывает практически полное совпадение модели в виде электрической схемы и модели в виде колебательного звена:

Выполним гармонический анализ данной модели, аналогично тому, как мы это делали для модели демпфера и камеры смешения реактора демпфера (см. разделы 3.3 Апериодическое звено 1-го порядка. и 3.1 Амплитудно-фазовая частотная характеристика). Расчетная схема для такого анализа приведена на рисунке 3.5.18.

Амплитуда входного тестового сигнала — 1 В, аналогична амплитуде ступенчатого воздействия из предыдущего численного эксперимента.

Результаты анализа представлены на рисунке 3.5.19

Результаты моделирования показывают практическое совпадение теоретических значений частоты, при которой достигается максимальная амплитуда сигнала, и значений, полученных в результате моделирования электрической схемы: Теоретическое значение = 111,75 Гц Полученное моделированием = 112,2 Гц

Для исследования влияния параметров модели добавим на схему управляющие элементы, которые буду менять сопротивление резистора и емкость конденсатора во время расчёта.

Также выведем на схему значения коэффициента демпфирования с помощью текста и стрелочного прибора. Чтобы можно было отслеживать влияние параметров цепи на процесс, заменим ступенчатое воздействие на меандр. Схема модели примет вид, как это представлено на рисунке 3.5.20

Чтобы данная конфигурация заработала, необходимо добавить в скрипт программы код, который заберёт значения с ползунков и передаст их в параметры модели (см. рис 3.5.21)

Данная модель позволяет изменить сопротивление резистора и емкость конденсатора, и оценить влияние этого изменения на переходной процесс. Подобное изменение мы делали в предыдущем примере, где изменение силы терпения в механическом демпфере выполнялось автоматически, и апериодическое звено второго порядка превращалось в колебательное. В текущем примере мы можем «вручную», с помощью ползунков, изменить параметры цепи и получить из колебательного звена апериодическое звено второго порядка.

Например, при положении ползунков, изображенном на рисунке 3.5.22, колебательный контур превращается в апериодическое звено второго порядка (см. рис. 3.5.23.)

При увеличении сопротивления резистора и емкости кондесатора происходит увеличение коэффициента демпфирования, и когда Если колебательное звено превращается в апериодическое 2-го порядка. (см. график на рис 3.5.23.

Поскольку мы рассматриваем общую тему частотных характеристик, доработаем наш виртуальный стенд с контуром так, чтобы можно было «вручную» исследовать частотные воздействия на контур.

Заменим в качестве источника блок «меандр», на блок «синусоида» и добавим ползунок, изменяющий частоту этого источника, а также добавим на схему текстовые надписи, отображающие частоты максимальной амплитуды, частоты собственных колебаний и частоты свободных колебаний. Расчетная схема будет выглядеть как на рисунке 3.5.25

Добавляем в скрипт необходимый код, обеспечивающий расчет частот максимальной амплитуды, собственных колебаний и свободных колебаний, а также код для изменения частоты источника напряжения. Данный код скрипта приведен на рисунке 3.5.25

Данная модель позволяет независимо настраивать параметры цепи и частоту источника напряжения.

В частности, можно убедится, что при различных настройках колебательного контура максимальная амплитуда колебаний напряжения достигается тогда, когда частота источника совпадает с частотой максимальной амплитуды, рассчитанной по формуле 3.5.10 см.скрипт на рис. 3.5.24.

Видео с управлением данным контуром можно посмотреть по ссылке.

А, например, на следующем графике изображено изменение напряжения на конденсаторе при повышении частоты источника от 0 до 300 Гц с шагом 1 Гц – 1 сек.

График построен путем давления в скрипте строки, передвигающей ползунок каждую секунду на 1 единицу (Гц) BarW.Value=Round(time) .

Как видим результат ручного управления совпал с результатом гармонического анализа максиму амплитуды теоретической частоте максимума — 112 Гц.

Примеры проектов для самостоятельного изучения можно взять по ссылке здесь.

3. Частотные характеристики систем автоматического управления (АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ) ч. 3.1

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами» читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки» факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность!

Данные лекции готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

В этом разделе мы будем изучать частотные характеристики. Тема сегодняшней статьи:
3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ

Будет интересно, познавательно и жестко.

3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ

Определение: Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакцию звена (системы) на единичное синусоидальное воздействие в установившемся режиме, т.е. в режиме вынужденных гармонических колебаний звена (системы).

Рис. 3.1.1 – Схематическое представление синусоидального воздействия

Формула синусоидального воздействия может быть записана как:

Рисунок 3.1.2 – График представления синусоидального воздействия

— сдвиг фазы (нередко называют — фаза);
— амплитуда;
т.е. амплитуда на выходе звена(системы) и сдвиг фазы зависят от частоты входного воздействия x(t).

Используем показательную форму записи функции единичного гармонического воздействия и отклика на это воздействие (рис. 3.1.1):

Определим связь между передаточной функцией и гармоничным воздействием, пользуясь показательной формой.
Рассмотрим звено уравнение динамики которого имеет следующий вид:

В показательной форме:

Запишем в показательной форме используя соотношения 3.1.1:

Подставим эти соотношения в (3.1.1) получим:

Поскольку (амплитуда на выходе звена(системы) и сдвиг фазы зависят от частоты входного воздействия), то можно записать:

если вспомнить, что в преобразования Лапласа , то:

Получаем выражение для передаточной функции

— Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ)
Иногда называют частотной передаточной функцией.
Модуль АФЧХ= тождественно равен амплитуде выходного сигнала:

Сдвиг фазы выходного сигнала:

Обычно АФЧХ изображается на комплексной плоскости. Формулы (3.1.6) и (3.1.7) позволяют изобразить в полярных координатах
Так же можно изображать в традиционных декартовых координатах:

Если использовать для представления W(s) форму W(s)=K·N(s)/L(s), где L(s)- полиномы по степеням s, (причем свободные члены равны 1), а К – общий коэффициент усиления звена (системы), то

Сдвиг фазы можно определить по виду многочленов и (см. формулу (3.1.9)) т.е. как разность фаз (аргументов) числителя и знаменателя:

Постоим АФЧХ для «абстрактного» звена (системы) с передаточной функцией:

Подставляя в формулу различные значения , получаем набор векторов, на комплексной плоскости

Рисунок 3.1.3 – Годограф абстрактного звена.

Рассмотрим действительную и мнимую части полученных векторов Из рисунка 3.1.3 видно, что:

Амплитуда и сдвиг фазы рассчитываются для векторов, соответствующих положительным частотам и лежащих в 4 квадранте по формулам:

В общем случае для любых углов сдвига необходимо учитывать переход между квадрантами на плоскости. Тогда формула принимает вид:

где:
j = 0, 2, 3, 4. если вектор в I и IV квадрант;
j = 1, 3, 4, 4. если вектор в II и III квадранте.

Во всех технических системах отклик системы, как правило, отстает от входного воздействия, то есть сдвиг фазы всегда отрицательный. Исходя из формулы 3.1.10, степень полинома L(s) выше, чем полинома N(s). Поскольку обычно степень полинома L(s) выше, чем полинома N(s), то с увеличением частоты на входе в звено (в систему) сдвиг фазы обычно отрицателен, т.е. сигнал на выходе звена еще больше отстает по фазе от входного сигнала при увеличении частоты.
В предельном случае, если частота растет до бесконечности, мы можем вообще не получить выходного воздействия. Обычно при ω→ ∞ величина амплитуды на выходе звена стремится к 0, то есть lim A(ω→∞) = 0.

при замене на имеет зеркальное изображение.

Анализируя годографы АФЧХ при > 0 (сплошная линия на рисунке 3.1.3) и при < 0 (пунктирная линия), видим, что:
– четная функция, следовательно график симметричен относительно оси ординат, а
– нечетная функция и ее график центрально-симметричен относительно начала координат.

Рисунок 3.1.4 – «Зеркальная» симметрия относительно оси ординат.

Рисунок 3.1.5 – «Центральная» симметрия относительно начала координат.

Кроме анализа свойств звена (системы) по годографу АФЧХ, широкое распространение получили анализ логарифмической амплитудной характеристики (ЛАХ) и фазочастотной характеристики (ФЧХ).

ЛАХ определяется как Lm(ω)=20lgA(ω).

Поскольку зачастую удобнее использовать десятичные логарифмы (lg), чем натуральные(ln), в теории управления (также и в акустике) значительно чаще используется специальная единица – децибел (1/10 часть Бела):
+1Бел – единица, характеризующая увеличение в 10 раз.
+1дБ (децибел) – соответствует увеличению в раз.

В формуле Lm(ω)=20lgA(ω) величина Lm(ω) измеряется также в децибелах. Происхождение множителя 20 таково: A(ω) – амплитуда, линейная величина, а мощность — квадратичная величина (например, напряжение в сети измеряется в Вольтах, а мощность () пропорциональна квадрату напряжения, поэтому в формуле для Lm(ω) стоит множитель 20 (чтобы привести ЛАХ (Lm(ω)) к традиционной мощностной характеристике).

Если больше на 20 дБ, то это означает, амплитуда больше амплитуды в 10 раз,

Окончательно: Lm(ω)=20lg│W(iω)│= 20lgA(ω)

Из этого следует, что +1 децибел (+1 дБ) соответствует увеличению амплитуды в раз (очень малая величина); -1 дБ – уменьшение амплитуды в раз.

Графики A(ω) и φ(ω) имеют вид:

Рисунок 3.1.6 – пример графика АЧХ

Рисунок 3.1.7 – пример графика ФЧХ

Учитывая, что “ω” обычно изменяется на порядки и значение A(ω) – также на порядки, график Lm(ω) строится, фактически, в логарифмических координатах, т.е. Lm(ω) =Lm(lg(ω)), например:

Рисунок 3.1.8 – пример графика ЛАХ

Наклон (– 40 дБ/дек) соответствует уменьшению амплитуды в 100 раз при увеличении частоты в 10 раз.

Рисунок 3.1.9 – пример графика ЛФЧХ

Рассмотренные характеристики Lm(ω), то есть ЛАХ и ФЧХ имеют широкое распространение при анализе динамических свойств звена (системы), например, при анализе устойчивости САР (см. раздел “Устойчивость систем автоматического управления”).

Рисунок 3.1.10 – пример ЛАХ и ФЧХ для сложной системы

Пример 1

В качестве примера построим АФЧХ для демпфера, модель которого разобрана в этой статье. . Добавим на схему блок «Построение частотных характеристик», в качестве входа возьмем возмущающее воздействие, в качестве выхода — положение положение груза. Для наглядности иллюстрации примем в качестве выхода положение в миллиметрах (х1000), поскольку модель у нас размерная и результат получается в метрах уже достаточно маленьким примерно 0.004 метра. см. рис. 3.11

Рисунок 3.1.11 Схема для построения частотных характеристик.

Параметры блока «Построение частотных характеристик» приведены на рисунке 3.1.12, для иллюстрации зависимости АЧХ и ЛАХ. Результат работы блока — график с выбранными параметрами — изображен на рисунке 3.1.13:

Рисунок 3.1.12 – Параметры блока «Частотные характеристики».

Рисунок 3.1.13 – Частотные характеристики в АЧХ, ЛАХ, ФЧХ в линейном масштабе по ω.

Анализ графика в линейном масштабе по ω чаще всего не очень удобен, поскольку весь график собирается в узкой области, а дальше график абсолютной амплитуды практически сливается с 0. Если мы хотим исследовать частоты хотя бы до 1000 Гц, мы увидим практически вертикальные и горизонтальные прямые. Изменения масштаба шкалы АЧХ и ω на логарифмический дает возможность лучше исследовать частотные характеристики (см. рис. 3.1.14).

На рисунке 3.1.14 представлены частотные характеристики демпфера в логарифмическом масштабе и иллюстрация соотношения между абсолютной величиной амплитуды АФЧХ и ЛАХ в децибелах.

Рисунок 3.1.14 – Частотные характеристики в АЧХ, ЛАХ, ФЧХ в логарифмическом масштабе по ω.

Пример 2

Постоим частотные характеристики для чуть более сложной модели, а именно — для гидравлического демпфера, рассмотренного в предыдущей лекции.

Для начала посмотрим на модель в виде блоков.

Модель, подготовленная для анализа, представлена на рисунке 3.1.15. В отличие от исходной модели, описанной ранее, входное воздействие задается блоком «ступенька» с скачком с 0 до 1 на 10 секунде расчёта. В блоке «линейная функция» происходит пересчет сигнала «ступенька»:
0 — соответствует 200 бар в камере (конечное состояние в предыдущем примере)
1 — соответствует 400 бар в камере.
Это сделано для того, чтобы можно было подавать синусоидальный сигнал и не получать отрицательное давление в камере плунжера. Также для наглядности графика мы усиливаем выходное перемещение, переводя его из метров в миллиметры.

Рисунок 3.1.15 – Модель гидравлического демпфера.

Частотные характеристики, получаемые в конце расчёта, приведены на рисунке 3.1.16. Видно что характеристики отличаются от простого пружинного демпфера (сравните с 3.1.14)

Рисунок 3.1.16 – Частотные характеристики гидравлического демпфера

Блок «Построение частотных характеристик» осуществляет расчет характеристик для линеаризованной модели в окрестности заданной точки. Это означает, что частотные характеристики системы в разные моменты времени могут отличаться для нелинейных моделей. Например, в нашем случае характеристики в начале расчёта будут отличаться от характеристик, полученных в конце расчёта.

Для подробных и нелинейных моделей, блок «Построение частотных характеристик» может не работать из за наличия разрывов и нелинейностей в модели. Как например, для «точной» модели демпфера, которую мы проверяли в предыдущей статье. В этом случае возможно построить частотные характеристики непосредственно моделированием, путем подачи синусоидального сигнала с разной частотой и измерения отклика. В SimInTech для этого используется блок «Гармонический анализатор», который подключается ко входу модели и генерирует синусоидальное воздействие. В этот же блок направляется отклик системы, и производится вычисление необходимых параметров для построения различных характеристик системы, которые можно вывести на графики с помощью блока «фазовый портрет».

Модель гидравлического демпфера, собранного из библиотечных блоков SimInTech, представлена на рисунке 3.1.7

Рисунок 3.1.17 – Модель гидравлического демпфера для расчёта частотных характеристик.

Расчеты с моделью показывают, что при сохранении общего вида графиков значения, полученные для «подробной модели», отличаются от линеаризованной модели (см. рис. 3.18 — 3.19)

Рисунок 3.1.18 – АЧХ подробной модели привода, полученная прямым моделированием.

Рисунок 3.1.19 – ЛАХ подробной модели привода, полученная прямым моделированием.

Использование прямого моделирования для получения характеристик является более надежным способом и работает не только с линейными моделями, но также может быть применимо для построения характеристик некоторых реальных объектов, если их можно подключить к среде моделирования и воздействовать в реальном режиме времени. Однако затраты на вычисления значительно будут больше. Например, для получения характеристик демпфера пришлось выполнить процесс в 40 000 секунд модельного времени, на обычном компьютере это заняло порядка 35 минут. График процесса перемещения плунжера в процессе вычисления характеристик приведен на рисунке 3.1.20.

Рисунок 3.1.20 – Перемещения плунжера в процессе моделирования.

Блок «Гармонический анализатор» имеет выходы:
Re(w*t) – текущее значение действительной части амплитудно-фазовой частотной характеристики исследуемой системы;
Im(w*t) – текущее значение мнимой части амплитудно-фазовой частотной характеристики.
Это позволяет построить годограф исследуемой системы с помощью фазового портрета. (см. рис. 3.1.21)

Рисунок 3.1.21 – Годограф системы гидравлического демпфера.

Модели, использованные для иллюстрации в лекции можно взять здесь…

Управление в ТС. Лабораторные работы / Теория / Лабораторная работа №1 (АФХ)

.

— при  = 0 ;

— при , и , .

Примерный график представлен на рис. 15.

;

,

где , , , .

Прежде всего отметим, что следствием указанного выше правила умножения комплексных чисел являются следующие отношения: , , n — натуральное число.

С учетом этого составим выражение для АЧХ:

.

при  = 0 A(0) = k;

— при , , , , ;

— все сомножители в выражении для АЧХ изменяются монотонно.

Примерные графики АЧХ для различных соотношений постоянных времени показаны на рис. 16.

Составим выражение для ФЧХ и проанализируем его:

— при  = 0 (0) = 2 . 0 – 0 – 3 . 0 = 0;

при каждый арктангенс достигает значения , .

Отметим также, что в зависимости от соотношения постоянных времени график  может иметь разный вид. На рис. 17 показаны примерные графики для следующих случаев:

— значение T₁ значительно превышает T₂ и T₃;

— значения постоянных времени примерно одинаковы;

— значение T₁ значительно меньше T₂;

2. Вещественная и мнимая частотные характеристики

Вещественной частотной характеристикой (ВЧХ) называется вещественная часть частотной передаточной функции: .

Мнимой частотной характеристикой (МЧХ) называется мнимая часть частотной передаточной функции: .

Для получения ВЧХ и МЧХ выражение для ЧПФ необходимо преобразовать к виду суммы

.

Основная задача, которую приходится решать при таком преобразовании, состоит в исключении комплексных выражений из знаменателя ЧПФ. Способ решения этой задачи известен из математики – домножение числителя и знаменателя на выражение, комплексно сопряженное к знаменателю.

Комплексно сопряженными являются выражения, отличающиеся знаком мнимой части: и .

Произведение комплексно сопряженных выражений оказывается вещественным:

.

В частном случае для чисто мнимого выражения получим: . Отметим особо следующий результат: j(—j)=1.

Получаемые в результате указанного преобразования выражения для ВЧХ и МЧХ справедливы как для положительных, так и для отрицательных частот. Тем не менее, для контроля правильности построения графиков этих характеристик следует помнить, что ВЧХ U() является четной функцией, а МЧХ V() — нечетной.

Апериодическое звено 1 порядка.

.

Таким образом, использование указанного выше способа позволило избавиться от комплексного выражения в знаменателе. Осталось разбить полученное выражение на два слагаемых. Первое из них не должно содержать в своем составе символа j, для второго символ j должен быть общим сомножителем:

.

В результате: , .

Проанализируем полученное выражение для ВЧХ и построим её график (рис. 18):

• при  = 0 ;
• при знаменатель стремится к бесконечности, и .

Д ля МЧХ (рис. 19):

• при  = 0

;

• при T>> 1,

, ;

• при  > 0 V() 0 .

Пример 8. , . В знаменателе содержатся два комплексных сомножителя: (удобнее рассматривать отдельно j) и . Комплексно сопряжёнными для них будут соответственно: — j и . Выполним преобразование: ; , . П роанализируем полученные выражения и построим их примерные графики (рис. 20 и 21):

• при  = 0 ;
• ;
• при , при ;
• при  > 0 , при  0 ;
• ;
• п ри  > 0 .

3. Амплитудно-фазовая частотная характеристика Амплитудно-фазовой частотной характеристикой (амплитудно-фазовой характеристикой, АФХ) называется годограф частотной передаточной функции. Годограф комплексной функции одного вещественного аргумента строится на комплексной плоскости, показанной на рис. 2. Любому значению аргумента на комплексной плоскости соответствует точка. Множество точек, соответствующее плавному изменению аргумента от —  до , образует кривую, которая и называется годографом. П усть задана ЧПФ W(j). Для некоторой частоты ₁ (для определенности ₁ > 0) соответствующая точка на комплексной плоскости может быть построена в декартовых координатах (рис. 22) на основе представления ЧПФ в алгебраической форме: W(j₁ ) = U(₁ ) +jV(₁ ), где U(₁) – значение ВЧХ, V(₁) – значение МЧХ на частоте ₁ . Представление ЧПФ в показательной форме даёт полярные координаты такой точки: , где А(_) — значение АЧХ, (_) — значение ФЧХ частоте _. При плавном изменении частоты от 0 до  множество соответствующих точек образуют кривую, например, как показано на рис. 22. Для получения второй половины годографа, соответствующей отрицательным частотам, определим положение изображающей точки для  = -_ на основе свойств четности и нечетности частотных характеристик. ВЧХ является четной функцией, следовательно, при изменении знака аргумента  горизонтальная координата изображающей точки сохраняет свое значение U(-_) = U(_). МЧХ – нечетная функция, следовательно, при изменении знака  изменяется знак вертикальной координаты изображающей точки V(-_) = — V(_). Таким образом, точки годографа, соответствующие частотам _ и -_, симметричны относительно горизонтальной оси. Поскольку значение _ выбиралось произвольным, можно сделать вывод о том, что участки АФХ, соответствующие  > 0 и  0, симметричны относительно горизонтальной оси. Участок соответствующий  0, принято показывать пунктирной линией (рис. 22). Итак, АФХ может быть построена двумя способами: с использованием ВЧХ и МЧХ (декартовых координат) или с использованием АЧХ и ФЧХ (полярных координат). При правильном построении оба способа должны давать одинаковый результат. Точное построение АФХ требует численного расчета и может быть выполнено с помощью компьютера. Однако для решения практических задач, как правило, можно ограничится приближенным построением АФХ вручную с точным расчетом отдельных точек. Требования к приближенному построению АФХ: 1. Построение подробно выполняется для . Для отрицательных частот вторая половина АФХ строится с учетом ее симметрии относительно горизонтальной оси. 2. Должны быть определенны квадранты, в которых проходит АФХ. 3. Должны быть найдены и указаны точки АФХ, соответствующие частотам  = 0 и . При отсутствии таких точек (асимптотический характер кривой) должны быть найдены соответствующие асимптоты и правильно показан вид участков, соответствующих и . 4. Должны быть найдены и указаны частоты, соответствующие точкам пересечения АФХ с осями координат, и координаты таких точек. 5. Направление увеличения частоты указывается на АФХ стрелкой. Пример 9. Апериодическое звено 1-го порядка. На рис. 6 и 7 показаны АЧХ и ФЧХ данного звена. По этим графикам может быть установлено следующее: — при  > 0 значения ФЧХ лежат в пределах от 0 до , следовательно, АФХ при  > 0 лежит в 4 квадранте, точек пересечения АФХ с осями координат при 0 <  нет; — при =0 А()=k, ()=0, следовательно, вектор, направленный в точку АФХ при  = 0 имеет длину k и совпадает с положительной вещественной полуосью; — при А()= 0, , следовательно, при АФХ приходит в начало координат вдоль вертикальной оси. АФХ показана на рис. 23 (точный расчет позволяет установить, что АФХ в данном примере представляет собой окружность). П роверим результат по второй паре частотных характеристик. ВЧХ и МЧХ данного звена показаны на рис. 18 и 19. По этим графикам может быть установлено следующее: — при  > 0 горизонтальные координаты всех точек АФХ положительны (U() > 0), вертикальные координаты – отрицательны (V() < 0)), следовательно, при >0 АФХ лежит в четвертом квадранте и не пересекает оси координат; — при  = 0 точка АФХ имеет декартовы координаты (U(0); V(0)) = (k; 0); — при точка АФХ имеет координаты (0; 0). Представленная на рис. 23 АФХ полностью соответствует указанным результатам. Пример 10. Идеальное дифференцирующее звено. W(s) = ks; W(j) = kj; A() = k; ; U() = 0; V() = k Г рафики частотных характеристик показаны на рис. 24. По АЧХ и ФЧХ можно установить следующее: — при  > 0 , следовательно, на всех положительных частотах векторы, направленные в точки АФХ (и сами точки АФХ) лежат на положительной вертикальной полуоси; — при  = 0 A() = 0, при , при увеличении частоты точки АФХ удаляются от начала координат. Аналогичные выводы можно сделать, анализируя ВЧХ и МЧХ. АФХ представлена на рис. 25. Характеристика совпадает с вертикальной осью. Следующий пример требует особого внимания. Он показывает, что в ряде случаев только одна пара характеристик (АЧХ и ФЧХ или ВЧХ и МЧХ) не дает всей необходимой информации для приближенного построения АФХ. Пример 11. Интегрирующее звено с замедлением. ; . Выражения для АЧХ и ФЧХ имеют вид: , . Их графики показаны на рис. 26. П о АЧХ и ФЧХ можно установить следующее: — при  > 0 значения ФЧХ лежат в пределах от до , следовательно, АФХ при  > 0 лежит в третьем квадранте, точек пересечения АФХ с осями координат нет; — при длина вектора, направленного в точки АФХ, стремится к бесконечности, угол наклона — к значению , следовательно, АФХ уходит вниз в бесконечность (при этом степень ее удаления от вертикальной оси установить не удается); — при A() = 0, () = , следовательно АФХ стремится в начало координат вдоль горизонтальной оси; — длина вектора направленного в точки АФХ, и угол его наклона изменяются монотонно. Варианты АФХ, соответствующие полученным результатам (с учетом неопределенности при ), показаны на рис. 27. Дополнительную информацию, позволяющую уточнить поведение АФХ на малых частотах, можно получить по ВЧХ и МЧХ. Получим выражения для этих характеристик и построим примерные графики (рис. 28): , , . По графику и из соответствующего выражения нетрудно установить, что горизонтальная координата точек АФХ при стремится к значению –kT. Это позволяет сделать вывод о том, что правильная АФХ для данного примера – кривая 2 на рис. 27. Причем асимптотой АФХ при и является вертикальная прямая, пересекающая горизонтальную ось в точке с координатой –kT. Отметим, что попытка выполнить приближенное построение АФХ по ВЧХ и МЧХ также вызовет затруднения: по графикам, показанным на рис. 28, не удается установить асимптотический характер АФХ при (характеристика приходит в начало координат вдоль горизонтальной оси). Таким образом, при построении АФХ целесообразно использовать обе пары частотных характеристик: АЧХ и ФЧХ, ВЧХ и МЧХ – для получения полной информации или, по крайней мере, для проверки результата. Пример 12. Апериодическое звено 2 порядка. ; . Выражения для АЧХ и ФЧХ имеют вид: , . Их графики показаны на рис. 29. П о графикам на рис. 29 можно установить следующее: — при  > 0 значения ФЧХ отрицательны и монотонно изменяются от 0 до , следовательно, АФХ при  > 0 начинается в четвертом и заканчивается в третьем квадранте, смене квадрантов соответствует точка пересечения АФХ с осью координат (вертикальной) на некоторой ненулевой частоте; — при  = 0 A() = k, соответствующая точка АФХ лежит на положительной горизонтальной полуоси; — при увеличении частоты длина вектора, направленного в точку АФХ, монотонно уменьшается (кривая АФХ приближается к началу координат); — при , АФХ заканчивается в начале координат; — вторая половина АФХ, соответствующая отрицательным частотам, может быть получена отражением относительно горизонтальной оси. В ид АФХ показан на рис. 30. Поскольку имеются точки пересечения АФХ с осями координат, требуется их расчет. В точке пересечения положительной ветви АФХ с вертикальной осью имеет место . Отсюда может быть получено уравнение для определения соответствующей частоты _: . Очевидно, при решать такое уравнение затруднительно. В то же время, можно отметить, что рассматриваемой точке соответствует и другое условие: U(₁) = 0Поэтому уравнение для определения _ может быть получено и другим способом – на основе выражения для ВЧХ. Получим выражения для ВЧХ и МЧХ: ; , . Построить графики ВЧХ и МЧХ и сопоставить их с АФХ предлагается самостоятельно. Уравнение для определения частоты _ примет вид: , откуда . Координату точки пересечения АФХ с вертикальной осью можно найти, подставив значение _ в выражение для ВЧХ: , или в выражение для АЧХ (в этом случае получим расстояние до искомой точки от начала координат): . Для отрицательных частот точка пересечения АФХ с вертикальной осью будет соответствовать частоте -_ и иметь вертикальную координату .

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

ТАУ, помогите пожалуйста.

На страницу Пред. 1 , 2

Re: ТАУ, помогите пожалуйста.
28.01.2013, 19:52

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось мат-ламер 30.01.2013, 21:10, всего редактировалось 1 раз.

Ionlion
А какую задачу вы решаете? Зачем Вам графики и уравнение? Если вы ищите АЧХ и ФЧХ, то тут говорили, что Вам надо найти модуль и аргумент комплексного числа .
— добавлено 30.01.13
Я извиняюсь, вместо надо было написать . (В разных книгах разные обозначения).

Re: ТАУ, помогите пожалуйста.
28.01.2013, 22:52

Мне нужно найти и построить графики АЧХ и ФЧХ. Если вы объясните как это сделать буду благодарен. Спасибо

Re: ТАУ, помогите пожалуйста.
29.01.2013, 08:45
Ionlion в сообщении #674449 писал(а):

Добрый день. Извините что обращаюсь за помощью просто уже давно закончил школу, сейчас получаю заочное образование. На 4ом курсе в Универе попапалась ТАУ и очень вредный препод который не хочет ничего объяснять. Ну да ладно. Помогите разобраться с одним примером пожалуйста, не хочется идти покупать, хочется разобраться самому ибо предмет профелирующий.

Нужно построить частотные хар-ки

Определил комплексную перед функцию не знаю правда правильно или нет

А вот дальше не могу понять как найти АЧХ и ФЧХ и вообще принципы их построения.
Если кто то может помочь буду оч благодарен.

АЧХ, ФЧХ и прочие частотные характеристики достаточно трудоёмко строить аналитически.
Воспользуйтесь пакетом MatLab. См. функции:

bode, nuquist, freqc
Re: ТАУ, помогите пожалуйста.
30.01.2013, 10:58

Последний раз редактировалось Ionlion 30.01.2013, 10:59, всего редактировалось 1 раз.

Я к сожалению в Mathlabe и компах не силен.

1. Ответьте на уже заданый вам вопрос: Есть комплексное число . Как определить его модуль?
2. Когда перемножаются два комплексных числа, что происходит с их модулями? Чему равен модуль произведения комплексных чисел?
3. Когда делятся два комплесных числа, что проиходит с их модулями? Чему равен модуль частного комплексных чисел?
4. Что называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ)? Что это за такая штука, которую вам требуется найти в задаче? Как её найти по известной частотной характеристике?

Re: ТАУ, помогите пожалуйста.
01.02.2013, 02:59
profrotter в сообщении #677991 писал(а):

Вернитесь к исходному сообщению и не обращайте внимания на то, что Вы тут понаписали, потому что это не нужно. В данной конкретной задаче вам это просто не нужно.

1. Ответьте на уже заданый вам вопрос: Есть комплексное число . Как определить его модуль?
2. Когда перемножаются два комплексных числа, что происходит с их модулями? Чему равен модуль произведения комплексных чисел?
3. Когда делятся два комплесных числа, что проиходит с их модулями? Чему равен модуль частного комплексных чисел?
4. Что называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ)? Что это за такая штука, которую вам требуется найти в задаче? Как её найти по известной частотной характеристике?

Так как мне кажется этот пост превращается в бедлам, оглашу ответ я:
1.
3. , то можно увидеть, что это есть нечто иное как комплексное число .
Если обратить внимание на правую часть выражения, то можно увидеть нечто иное как интересующие нас АФХ и АЧХ, которые представлены в виде модуля частотной передаточной функции (модуль комплексного числа ) и интересующий нас аргумент в степени при экспоненте.

Верно ли что выборка применяется к отчетам перед сегментацией

Как скачать читы для пабг на айфоне

Как скачивать приложения на хуавей

Как установить лайтрум на компьютер