Что такое лн в математике
Перейти к содержимому

Что такое лн в математике

  • автор:

Натуральный логарифм

График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной функцией от x).

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e — иррациональная константа, равная приблизительно 2,718 281 828 . Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x), loge(x) или иногда просто log(x), если основание e подразумевается. [1]

Натуральный логарифм числа x (записывается как ln(x)) — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x. Например, ln(7,389. ) равен 2, потому что e 2 =7,389. . Натуральный логарифм самого числа e (ln(e)) равен 1, потому что e 1 = e, а натуральный логарифм 1 (ln(1)) равен 0, поскольку e 0 = 1.

Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a. Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется натуральный логарифм, привела к появлению названия «натуральный». Это определение можно расширить на комплексные числа, о чём будет сказано ниже.

Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции, что приводит к тождествам:

e^<\ln(a)>= a \qquad \mboxa > 0\,\!» width=»» height=»» /> <img decoding=

Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:

 \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y) \!\,

Таким образом, логарифмическая функция представляет собой изоморфизм группы положительных действительных чисел относительно умножения на группу вещественных чисел по сложению, который можно представить в виде функции:

\ln : \mathbb</p><div class='code-block code-block-1' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 1electronika54 -->
<script src=

^+ \to \mathbb.» width=»» height=»» />

Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от 1, а не только для e, но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, как правило, определяются в терминах натурального логарифма. Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестные присутствуют в качестве показателя степени. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада, или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности. Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения многих задач, включая нахождение сложных процентов.

История

Первое упоминание натурального логарифма сделал Николас Меркатор в работе Logarithmotechnia, опубликованной в 1668 году [2] , хотя учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов. [3] Ранее его называли гиперболическим логарифмом, [4] поскольку он соответствует площади под гиперболой. Иногда его называют логарифмом Непера, хотя первоначальный смысл этого термина был несколько другой.

Конвенции об обозначениях

Русская (и советская в целом) система

Натуральный логарифм принято обозначать через «ln(x)», логарифм по основанию 10 — через «lg(x)», а прочие основания принято указывать явно при символе «log».

Во многих работах по дискретной математике, кибернетике, информатике авторы используют обозначение «log(x)» для логарифмов по основанию 2, но это соглашение не является общепринятым и требует разъяснения либо в списке использованных обозначений, либо (при отсутствии такого списка) сноской или комментарием при первом использовании.

Скобки вокруг аргумента логарифмов (если это не приводит к ошибочному чтению формулы) обычно опускают, а при возведении логарифма в степень показатель приписывают непосредственно к знаку логарифма: ln 2 ln 3 4x 5 = [ln([ln(4x 5 )] 3 )] 2 .

Англо-американская система

Математики, статистики и часть инженеров обычно используют для обозначения натурального логарифма либо «log(x)», либо «ln(x)» , а для обозначения логарифма по основанию 10 — «log10(x)».

Некоторые инженеры, биологи и другие специалисты всегда пишут «ln(x)» (или изредка «loge(x)»), когда они имеют в виду натуральный логарифм, а запись «log(x)» у них означает log10(x).

В теоретической информатике, теории информации и криптографии «log(x)» обычно означает логарифм по основанию 2 «log2(x)» (хотя часто вместо этого пишется просто lg(x)).

Техника

В наиболее часто используемых языках программирования и пакетах прикладных программ, включая C, C++, SAS, MATLAB, Фортран и BASIC функция «log» или «LOG» относится к натуральному логарифму.

В ручных калькуляторах натуральный логарифм обозначается ln, тогда как log служит для обозначения логарифма по основанию 10.

Происхождение термина натуральный логарифм

Сначала может показаться, что поскольку наша система счисления имеет основание 10, то это основание является более «натуральным», чем основание e. Но математически число 10 не является особо значимым. Его использование скорее связано с культурой, оно является общим для многих систем счисления, и связано это, вероятно, с числом пальцев у людей. [5] Некоторые культуры основывали свои системы счисления на других основаниях: 5, 8, 12, 20 и 60. [6] [7] [8]

loge является «натуральным» логарифмом, поскольку он возникает автоматически и появляется в математике очень часто. Например, рассмотрим проблему производной логарифмической функции: [9]

\frac</p>
<p>\log_b(x) = \frac \left( \frac <\ln(b)>\ln \right) = \frac <\ln(b)>\frac \ln = \frac <x\ln(b)>» width=»» height=»» /></p>
<p>Если основание <i>b</i> равно <i>e</i>, то производная равна просто 1/<i>x</i>, а при <i>x</i> = 1 эта производная равна 1. Другим обоснованием, по которому основание <i>e</i> логарифма является наиболее натуральным, является то, что он может быть довольно просто определён в терминах простого интеграла или ряда Тейлора, чего нельзя сказать о других логарифмах.</p>
<p>Дальнейшие обоснования натуральности не связаны со счислением. Так, например, есть несколько простых рядов с натуральными логарифмами. Пьетро Менголи и Николай Меркатор называли их <i>логарифмус натуралис</i> несколько десятилетий до тех пор, пока Ньютон и Лейбниц не разработали дифференциальное и интегральное исчисление. [10] </p>
<h3>Определение</h3>
<p><img decoding=

ln(a) определяется как площадь под кривой f(x) = 1/x от 1 до a.

Формально ln(a) может быть определён как площадь под кривой графика 1/x от 1 до a, т. е. как интеграл:

\ln(a)=\int_1^a \frac<1></p>
<p>\,dx.» width=»» height=»» /></p>
<p>Это действительно логарифм, поскольку он удовлетворяет фундаментальному свойству логарифма:</p>
<p> <img decoding=

t=\tfrac xa

Это можно продемонстрировать, допуская следующим образом:

 \ln (ab) = \int_1^</p><div class='code-block code-block-4' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 4electronika54 -->
<script src=

\frac \; dx = \int_1^a \frac \; dx \; + \int_a^ \frac \; dx =\int_1^ \frac \; dx \; + \int_1^ \frac \; dt = \ln (a) + \ln (b) » width=»» height=»» />

Число e может быть определено как единственное действительное число a такое, что ln(a) = 1.

e^<\ln(x)></p>
<p>Или же, если показательная функция была определена раньше с использованием бесконечных рядов, натуральный логарифм может быть определён как обратная к ней функция, т. е. ln — это функция, такая что = x\!» width=»» height=»» />. Так как диапазон значений экспоненциальной функции от реальных аргументов есть все положительные вещественные числа, а экспоненциальная функция строго возрастает, то это хорошо определённая функция для всех положительных <i>x</i>.</p>
<h3>Свойства</h3>
<ul>
<li><img decoding=

  • \ln(-1) = i \pi \quad \,

(комплексный логарифм)

  • \ln(x) < \ln(y) \quad\quad 0 < x < y\;
  • \frac<h>\leq \ln(1+h) \leq h \quad\quad h > -1\;» width=»» height=»» /></li>
</ul>
<ul>
<li><img decoding=

    \ln (1+x)\,

    Полиномы Тейлор дают точную аппроксимацию для только в диапазоне -1 < x ≤ 1. Заметим, что для x > 1 полиномы Тейлора более высокой степени дают аппроксимацию хуже.

    Производная натурального логарифма равна

    \frac<d></p>
<p> \ln(x) = \frac.\,» width=»» height=»» /></p>
<p><img decoding=

    На основании этого можно выполнить разложение в ряд Тейлора около 0, называемого иногда рядом Меркатора:

    \ln(1+x)=\sum_<n=1>^\infty \frac> x^n = x — \frac + \frac — \dots \quad\quad \left|x\right| \leq 1\quad» width=»» height=»» /> <img decoding=

    Справа дано изображение и некоторых её полиномов Тейлора около 0. Эти аппроксимации сходятся к функции только в области -1 < x ≤ 1, а за её пределами полиномы Тейлора высших степеней дают аппроксимацию менее точную.

    Подставляя x-1 для x, получим альтернативную форму для ln(x), а именно:

    \ln(x)=\sum_<n=1>^\infty \frac> (x-1) ^ n» width=»» height=»» /> <img decoding=

\int < 1 \over x></p>
<p> dx = \ln|x| + C» width=»» height=»» /></p>
<p> <img decoding=

Ниже дан пример для g(x) = tan(x):

\int \tan (x) \,dx = \int <\sin (x) \over \cos (x)>\,dx» width=»» height=»» /> <img decoding=

\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C.

Численное значение

Для расчета численного значения натурального логарифма числа можно использовать разложение его в ряд Тейлора в виде:

\ln(1+x)= x \,\left( \frac</p>
<p> — x\,\left(\frac — x \,\left(\frac — x \,\left(\frac — x \,\left(\frac- \dots \right)\right)\right)\right)\right) \quad\quad \left|x\right| </p>
<p>Чтобы получить лучшую скорость сходимости, можно воспользоваться следующим тождеством:</p>
<table>
<tr>
<td><img decoding= = 2\,y\, \left( \frac + y^ \, \left( \frac + y^ \, \left( \frac + y^ \, \left( \frac + y^ \, \left( \frac + \dots \right) \right) \right)\right) \right)

при условии, что y = (x−1)/(x+1) и x > 0.

Для ln(x), где x > 1, чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости. Тождества, связанные с логарифмом, можно использовать для достижения цели:

\ln(123456)\! = \ln(123456 \times 10^2) \,\!
= \ln(123456) + \ln(10^2) \,\!
= \ln(123456) + 2 \times \ln(10) \,\!
\approx \ln(123456) + 2 \times 23025851 \,\!

Эти методы применялись ещё до появления калькуляторов, для чего использовались числовые таблицы и выполнялись манипуляции, аналогичные вышеописанным.

Высокая точность

Для вычисления натурального логарифма с большим количеством цифр точности ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная. Альтернативой является использование метода Ньютона, чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.

Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула: [12] [13]

\ln x \approx \frac<\pi></p>
<p> — m \ln 2″ width=»» height=»» /></p>
<p>где <i>M</i> обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/s, и</p>
<p><img decoding=

Непрерывные дроби

Хотя для представления логарифма отсутствуют простые непрерывные дроби, но можно использовать несколько обобщённых непрерывных дробей, в том числе:

 \log(1+x)=\frac<x^1>-\frac+\frac-\frac+\frac-\dots= \cfrac>>>> » width=»» height=»» /> <img decoding=

На языке математики это будет выглядеть вот так:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Теперь сделаем то же самое, но уже с числами. Например, нам нужно узнать, в какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 8. Если вспомнить степени двойки, то будет ясно, что 2³ = 8, а значит, ответ будет «в третью степень». Мы только что нашли логарифм числа 8 по основанию 2.

Что такое логарифм в математике и в жизни

Десятичный, натуральный и другие логарифмы

Число A, которое возводят в какую-то степень, называется основанием логарифма. Самые популярные у математиков логарифмы — десятичный и натуральный.

Десятичный логарифм — это когда в основании логарифма стоит число 10. Наша задача в этом случае — найти, в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить желаемое число. Обозначается так — lg:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Натуральный логарифм устроен похоже, только вместо десятки в основании логарифма стоит число e, которое примерно равно 2,71828 и называется числом Эйлера. В математике число e играет такую же важную роль, как в геометрии — число пи, поэтому логарифм по основанию e часто встречается во многих математических выкладках и доказательствах.

Обозначается натуральный логарифм так — ln:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Логарифмическая шкала

Если мы возьмём линию и отметим на ней точки через каждый сантиметр, то мы получим арифметическую шкалу. Арифметическую — потому что каждая новая отметка считается арифметическим действием — сложением шага и предыдущего значения:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Но если мы вместо сложения возьмём логарифм, например, по основанию 10, то каждая новая отметка будет зависеть от значения десятичного логарифма:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Это выглядит странно, но логарифмическая шкала постоянно применяется в экономике и маркетинге, когда нужно оценить рост или падение стоимости товара. Если взять обычную арифметическую шкалу, то разница между парами (1, 2) и (9, 10) будет одной и той же — 1 пункт.

Что такое логарифм в математике и в жизни

Но при этом в первом случае цена выросла в 2 раза, с 1 до 2, а во втором случае — всего лишь на 10%. С логарифмической шкалой рост цены будет выглядеть логичнее:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Зачем нужны логарифмы в жизни

Вокруг нас и в быту мы встречаем гораздо больше логарифмов, чем кажется. Вот несколько примеров.

Децибелы, в которых измеряется относительная громкость любых звуков, считаются по десятичному логарифму. Относительная — потому что она считается от минимального порога громкости, которую только может расслышать человек. Например, если громкость звука равна 20 децибел, то это значит, что это громче самого тихого в 100 раз, а если 30 децибел — то в 1000 раз.

В химии активность водородных ионов тоже считается по логарифмической шкале.

Выдержки и диафрагмы в фотографии тоже меняются логарифмически — каждое новое значение больше или меньше предыдущего в определённое число раз.

В ракетостроении для вычисления скорости ракеты используется уравнение Циолковского. В основе этого уравнения — логарифмическая зависимость от массы ракеты с топливом и без него.

Логарифмы в природе

Больше всего логарифмов можно встретить в природе в виде логарифмической спирали. Математическая формула спирали выглядит так:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Если мы захотим построить график этого уравнения, то он будет выглядеть так:

А вот логарифмическая спираль в природе — в ракушках, подсолнечнике и капусте. С капустой ещё связана другая интересная тема — фракталы, но про них поговорим в другой раз.

Что такое логарифм в математике и в жизни Что такое логарифм в математике и в жизни Что такое логарифм в математике и в жизни

Даже рога у горных козлов закручиваются по логарифмической спирали:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Что дальше

Теперь мы знаем про логарифмы достаточно, чтобы понять, как они работают. В следующей статье напишем простую программу из двух циклов, которая посчитает нам практически любой логарифм по любому основанию.

Что такое лн в математике

Для практического применения наиболее удобным основанием логарифмов является число 10. Но для теоретических исследований наиболее пригодно другое основание, а именно иррациональное число е = 2,718 281 83 (с точностью до восьмого десятичного знака). Этот поразительный на первый взгляд факт полностью можно разъяснить только в высшей математике; здесь мы покажем лишь, откуда это число появляется. Оно находится в тесной связи с тем способом вычисления логарифмов, который был объяснен в сущности логарифмического метода.

Когда мы берем за основание число 1 + 1/n, близкое к единице, например, 1,00001 (n = 100000), то для небольших чисел получаются огромные логарифмы, например, число 3 имеет логарифм 109861. Чтобы этот логарифм был величиной того же порядка, что и самое число 3, его следовало бы уменьшить в n = 100000 раз. Тогда он имел бы величину 1,09861. Число 3 будет иметь логарифм 1,09861, если за основание взять не

1 + 1/n = 1,00001, а (1 + 1/n) n = 1,00001 100000

Действительно, мы имеем:

3 = (1,00001) 109861 = 1,00001 100000.1,09861 = (1,00001 100000 ) 1,09861

Если мы вычислим величину 1,00001 100 000 , то с точностью до восьмого десятичного знака найдем;

(1 + 1/n) n = 2,71826763 (n = 100000).

Это число уже очень близко к числу е; оно имеет одинаковые с числом е первые пять цифр. Если бы мы положили в основание не 1,00001, а еще более близкое к 1 число, например 1,000001, т. е. взяли бы n = 1000000, то, рассуждая так же, как прежде, нашли бы, что еще более удобным основанием будет:

(1 + 1/n) n = 1,000001 1000000

Это число с точностью до восьмого знака равно 2,718 280 47. Оно имеет те же первые шесть цифр, что число е, а в седьмой цифре разнится лишь на единицу. Чем больше взять число n, тем меньше число (1 + 1/n) n будет отличаться от числа е. Иначе говоря, число е есть предел, к которому стремится (1 + 1/n) n при неограниченном возрастании n. Это и есть определение числа е.

Мы видели, что основание 1 + 1/n а значит, и (1 + 1/n) n , тем точнее позволяет вычислить логарифмы всевозможных чисел, чем больше число n. Естественно ожидать, что наиболее удобным для той же цели будет предел, к которому стремится (1 + 1/n) n при неограниченном возрастании n, т. е. число е. Так и есть в действительности. Вычисление логарифмов по основанию е совершается быстрее, чем по всякому другому основанию. Способы этого вычисления излагаются в высшей математике.

Самое число е можно выразить десятичной дробью с любой степенью точности; в таблицах можно найти такие приближенные значения е , которые по своей точности превосходят любые практически возможные требования. С полной же точностью число е ни десятичной, ни другой рациональной дробью представить невозможно. Более того, число е не только иррационально, но и трансцендентно (см. Иррациональные числа).

Логарифмы, взятые по основанию е, называются натуральными логарифмами. Часто их называют (исторически неправильно) неперовыми*.

Обозначение. Вместо logex принято писать 1nX (знак ln есть сокращение слов «логарифм натуральный»).

Пример. ln 3 = 1,09861.

Чтобы, по известному десятичному логарифму числа N найти его натуральный логарифм, нужно разделить десятичный логарифм числа N на десятичный логарифм числа е (последний равен 0,43429. ):

ln N = lgN/lge ≈ lgN/0.43429 ≈ 2.30259 LgN

Величина lg е =0,43429 называется модулем десятичных логарифмов и обозначается через М, так что

Пример. Нам известно, что lg 2 = 0,30103. Отсюда

ln2 = 1/M * 0,30103 = 0,69315.

Чтобы по известному натуральному логарифму числа N найти его десятичный логарифм, нужно помножить натуральный логарифм на модуль десятичных логарифмов М = lg е:

lg N = lg е ln N = M ln N ≈ 0,43429 In N.

Пример. ln 3 = 1,09861. Отсюда lg 3 = M * 1,09861 = 0,47712.

Данные здесь правила перехода от натуральных логарифмов к десятичным и обратно представляют собой частные случаи общих формул
logaN = logbN * logab;
logaN = logbN/logba,
позволяющих перейти от логарифма числа N по основанию b к логарифму того же числа по основанию а. Вторая формула при N = b даст
logab = 1/logba

Натуральный логарифм числа

Справочник

Под определением натурального логарифма принято считать логарифмическое значение по основанию к иррациональному значению.

Обозначается натуральный логарифм в виде значения:

Зачастую значение числа x под знаком логарифма является вещественным значение, либо его еще принято называть комплексным числом.

Формулы натурального логарифма:

\[ \ln (x y)=\ln x+\ln y \]
\[ \ln \frac=\ln x-\ln y \]
\[ \ln x^=n \cdot \ln x \]

Свойства натурального логарифма

  1. Из основного определения логарифма можно сформулировать главное логарифмическое тождество (уравнение).
  1. Для равенства двух простых натуральных логарифмов следует равенство логарифмируемых значений выражения.
  2. В случае, когда возрастает значения любого аргумента, следовательно, будет возрастать и логарифмическое значение функции.

Описание функции натурального логарифма

Логарифмическая функция выражается как: y=log n k

Где значение n, имеет значение больше нуля и не менее единицы.

Область определения логарифма и функции — это совокупность положительных значений и действительных чисел.

Рассмотрим на примере, характер решения задачи данной функции.

y = ln x, вычислить область определения.

\[\mathrm(\mathrm)=(0 ;+\infty)\]

На заданном интервале, производная будет иметь положительное значение, и функция будет возрастать на всем промежутке.

Определим односторонний предел при, стремлении аргумента к нулю и когда значение x стремится к бесконечности.

\[ \lim _ \ln x=\ln (0+0)=-\infty; \]
\[ \lim _ \ln x=\ln (+\infty)=+\infty. \]

Из данного решения мы видим, что значения будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Из этого следует, что множество всех действительных чисел – является областью значений функции натурального логарифма ln.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Нужна помощь

График натурального логарифма

Значение логарифма принято обозначается при положительных числовых значениях переменной x. Затем он монотонно начинает возрастать по всей своей области определения.

При значении, которое стремится к нулю (x → 0) пределом натурального логарифма, будет считаться значение до бесконечности с отрицательным значением ( – ∞ ).

Для значений x, которые имеют большие значения, логарифм возрастает относительно медленно.

Значение степенной функции x n , имея при этом положительное значение показателя степени, будет возрастать намного быстрее, чем сама функция.

Ниже приведены рисунки графического изображения функции.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *