Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Наряду с уравнениями с разделяющимися переменными и линейными неоднородными уравнениями этот тип ДУ встречается практически в любой контрольной работе по теме диффуров. Если Вы зашли на страничку с поисковика или не очень уверенно ориентируетесь в дифференциальных уравнениях, то сначала настоятельно рекомендую проработать вводный урок по теме – Дифференциальные уравнения первого порядка. Дело в том, что многие принципы решения однородных уравнений и используемые технические приемы будут точно такими же, как и для простейших уравнений с разделяющимися переменными.
В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере.
Решить дифференциальное уравнение
Решение: что в первую очередь следует проанализировать при решении любого дифференциального уравнения первого порядка? В первую очередь нужно проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или пытаются разделить переменные на черновике.
В данном примере переменные разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т. д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден ввиду наличия множителя .
Возникает вопрос – как же решить этот диффур?
Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:
В исходное уравнение:
вместо подставляем , вместо подставляем , производную не трогаем:
Буква лямбда – это условный параметр, и здесь он играет следующую роль: если в результате преобразований удастся «уничтожить» ВСЕ лямбды и получить исходное уравнение, то данное дифференциальное уравнение является однородным.
Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени:
Теперь в правой части выносим лямбду за скобки:
и обе части делим на эту самую лямбду:
В результате все лямбды исчезли как сон, как утренний туман, и мы получили исходное уравнение.
Вывод: Данное уравнение является однородным
Поначалу рекомендую проводить рассмотренную проверку на черновике, хотя очень скоро она будет получаться и мысленно.
Как решить однородное дифференциальное уравнение?
У меня очень хорошая новость. Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены.
Функцию «игрек» следует заменить произведением некоторой функции (тоже зависящей от «икс») и «икса»:
, почти всегда пишут коротко:
Выясняем, во что превратится производная при такой замене, используем правило дифференцирования произведения. Если , то:
Подставляем и в исходное уравнение :
Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными. ЗАПОМИНАЕМ как первую любовь:) и, соответственно, .
После подстановки проводим максимальные упрощения:
Далее алгоритм работает по накатанной колее уравнения с разделяющимися переменными.
Поскольку – это функция, зависящая от «икс», то её производную можно записать стандартной дробью: .
Таким образом:
Разделяем переменные, при этом в левой части нужно собрать только «тэ», а в правой части – только «иксы»:
Переменные разделены, интегрируем:
Согласно моему первому техническому совету из статьи Дифференциальные уравнения первого порядка, константу во многих случаях целесообразно «оформить» в виде логарифма.
После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену, она тоже стандартна и единственна:
Если , то
В данном случае:
В 18-19 случаях из 20 решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла.
Ответ: общий интеграл:
Почему почти всегда ответ однородного уравнения даётся в виде общего интеграла?
В большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (получить общее решение), а если и возможно, то чаще всего общее решение получается громоздким и корявым.
Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно, навешиваем логарифмы на обе части общего интеграла:
– ну, еще куда ни шло. Хотя, согласитесь, все равно кривовато.
Кстати, в данном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл. Это не ошибка, но в «хорошем» стиле, напоминаю, общий интеграл принято записывать в виде . Для этого сразу после интегрирования уравнения, константу следует записать без всякого логарифма (вот и исключение из правила!):
И после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде:
Полученный ответ можно проверить. Для этого его нужно продифференцировать, то есть найти производную от функции, заданной неявно:
Избавляемся от дробей, умножая каждую часть уравнения на :
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено правильно.
Желательно всегда проводить проверку. Но однородные уравнения неприятны тем, что проверять их общие интегралы обычно трудно – для этого необходима весьма и весьма приличная техника дифференцирования. В рассмотренном примере в ходе проверки уже пришлось находить не самые простые производные (хотя сам по себе пример достаточно простой). Если сможете проверить – проверяйте!
Следующий пример для самостоятельного решения – чтобы вы освоились в самом алгоритме действий:
Проверить уравнение на однородность и найти его общий интеграл.
Ответ записать в виде , выполнить проверку.
. Тут тоже получилась довольно простенькая проверка.
А теперь обещанный важный момент, упомянутый ещё в самом начале темы,
выделю жирными чёрными буквами:
Если в ходе преобразований мы «сбрасываем» множитель с переменной в знаменатель, то РИСКУЕМ потерять решения!
И на самом деле с этим мы столкнулись в первом же примере вводного урока о дифференциальных уравнениях. В процессе решения уравнения «игрек» оказался в знаменателе: , но , очевидно, является решением ДУ и в результате неравносильного преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что оно вошло в общее решение при нулевом значении константы. Сброс «икса» в знаменатель тоже можно не принимать во внимание, т. к. не удовлетворяет исходному диффуру.
Аналогичная история с третьим уравнением того же урока, в ходе решения которого мы «сбросили» в знаменатель. Строго говоря, здесь следовало проверить, а не является ли решением данного диффура? Ведь является! Но и тут «всё обошлось», поскольку эта функция вошла в общий интеграл при .
И если с «разделяющимися» уравнениями такое часто 😉 «прокатывает», то с однородными и некоторыми другими диффурами может и «не прокатить». С высокой вероятностью.
Проанализируем уже прорешанные задачи этого урока: в Примерах 1-2 «сброс» икса тоже оказался безопасен, ибо там есть и , а посему сразу понятно, что не может быть решением. Кроме того, в Примере 2 в знаменателе оказался , и здесь мы рисковали потерять функцию , которая, очевидно, удовлетворяет уравнению . Однако, и тут «пронесло», т. к. она вошла в общий интеграл при нулевом значении константы.
Но «счастливые случаи» я, конечно же, устроил специально, и не факт, что на практике попадутся именно они:
Решить дифференциальное уравнение
Не правда ли простой пример? 😉
Решение: однородность этого уравнения очевидна, но всё равно – на первом шаге ОБЯЗАТЕЛЬНО проверяем, нельзя ли разделить переменные. Ибо уравнение тоже однородно, но переменные в нём преспокойно разделяются. Да, бывают и такие!
После проверки на «разделяемость» проводим замену и максимально упрощаем уравнение:
Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»:
И вот здесь СТОП. При делении на мы рискуем потерять сразу две функции. Так как , то это функции:
Первая функция, очевидно, является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем и её производную в наш диффур:
– получено верное равенство, значит, функция тоже является решением.
И эти решения мы рискуем потерять.
Кроме того, в знаменателе оказался «икс», и поэтому обязательно проверяем, не является ли решением исходного дифференциального уравнения. Нет, не является. И тут один их читателей задал вопрос: «Почему? Ведь получается уравнение , которое имеет корни». А дело в том, что это не тождество (равенство справедливое для всех функций («игреков»)). Здесь предполагалось , однако не судьба.
Берём всё это на заметку и продолжаем:
Надо сказать, с интегралом левой части повезло, бывает гораздо хуже.
Перед обратной заменой максимально упрощаем общий интеграл. Если есть дроби, то от них лучше избавиться, умножаем каждую часть на 2:
Константу я переобозначу через :
(если этот момент не понятен, читайте статью Дифференциальные уравнения первого порядка)
Собираем в правой части единый логарифм, и сбрасываем оковы:
И вот только теперь обратная замена :
Умножим все слагаемые на :
Теперь следует проверить – вошли ли в общий интеграл «опасные» решения . Да, оба решения вошли в общий интеграл при нулевом значении константы: , поэтому их не нужно дополнительно указывать в ответе:
Проверка. Даже не проверка, а сплошное удовольствие:)
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.
Для самостоятельного решения:
Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение
Общий интеграл проверить дифференцированием.
Полное решение и ответ в конце урока.
Рассмотрим ещё пару типовых примеров:
Решить дифференциальное уравнение
Решение будем привыкать оформлять компактнее. Сначала мысленно либо на черновике убеждаемся в том, что переменные тут разделить нельзя, после чего проводим проверку на однородность – на чистовике её обычно не проводят (если специально не требуется). Таким образом, почти всегда решение начинается с записи: «Данное уравнение является однородным, проведем замену: …».
. замену , и идём проторенной дорогой:
С «иксом» тут всё в порядке, но вот что с квадратным трёхчленом? Поскольку он неразложим на множители: , то решений мы точно не теряем. Всегда бы так! Выделяем в левой части полный квадрат и интегрируем:
Упрощать тут нечего, а посему обратная замена :
Ответ: общий интеграл:
Следующий пример для самостоятельного решения:
Решить дифференциальное уравнение
. Казалось бы похожие уравнения, ан нет – Большая разница 😉
И сейчас начинается самое интересное! Сначала разберёмся, как быть, если однородное уравнение задано с готовыми дифференциалами:
Решить дифференциальное уравнение
Это очень интересный пример, прямо целый триллер!
Решение: если однородное уравнение содержит готовые дифференциалы, то его можно решить модифицированной заменой:
Но я не советую использовать такую подстановку, поскольку получится Великая китайская стена дифференциалов, где нужен глаз да глаз. С технической точки зрения выгоднее перейти к «штриховому» обозначению производной, для этого делим обе части уравнения на :
И уже здесь мы совершили «опасное» преобразование! Нулевому дифференциалу соответствует – семейство прямых, параллельных оси . Являются ли они корнями нашего ДУ? Подставим и в исходное уравнение:
Данное равенство справедливо, если , то есть при делении на мы рисковали потерять решение , и мы его потеряли – так как оно уже не удовлетворяет полученному уравнению .
Следует заметить, что если бы нам изначально было дано уравнение , то о корне речи бы не шло. Но у нас он есть, и мы его вовремя «отловили».
Продолжаем решение стандартной заменой :
:
После подстановки максимально упрощаем уравнение:
И вот здесь снова СТОП: при делении на мы рискуем потерять две функции. Так как , то это функции:
Очевидно, что первая функция является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем и её производную :
– получено верное равенство, значит, функция тоже является решением дифференциального уравнения.
И при делении на мы эти решения рискуем потерять. Впрочем, они могут войти в общий интеграл. Но могут и не войти
Берём это на заметку и интегрируем обе части:
Интеграл левой части стандартно решается с помощью выделения полного квадрата, но в диффурах гораздо удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов:
Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
– так как у нас нарисовались одни логарифмы, то константу тоже заталкиваем под логарифм.
Перед обратной заменой снова упрощаем всё, что можно упростить:
И обратная замена :
Теперь вспоминаем о «потеряшках»: решение вошло в общий интеграл при , а вот – «пролетело мимо кассы», т. к. оказалось в знаменателе. Поэтому в ответе оно удостаивается отдельной фразы, и да – не забываем о потерянном решении , которое, к слову, тоже оказалось внизу.
Ответ: общий интеграл: . Ещё решения:
Здесь не так трудно выразить общее решение:
, но это уже понты.
Удобные, впрочем, для проверки. Найдём производную:
и подставим в левую часть уравнения:
– в результате получена правая часть уравнения, что и требовалось проверить.
Теперь квест с корнями, это тоже распространенный и очень коварный случай:
Решить дифференциальное уравнение
Решение: устно убеждаемся, что уравнение однородно и подставляем первую любовь , в исходное уравнение:
И опасность нас поджидает уже тут. Дело в том, что , и этот факт очень легко упустить из виду:
Теперь раскрываем модуль, в результате чего получаются две ветки решения:
, если , и
, если .
Обе ветки удобно записать единым уравнением, при этом возможны следующие варианты оформления:
, где «сигнум икс» – специальная функция, которая возвращает знак «икс»: , пользуйтесь смело, это известная функция.
Второй способ более привычен, выберу его в качестве рабочего варианта:
, но здесь ОБЯЗАТЕЛЬНО нужен комментарий о том, что знак «+» соответствует случаю , а знак «–» – случаю .
Внимание! Функцию или знаки «отрывать» от корня нельзя! Это может закончиться фатальной ошибкой. Поэтому при разделении переменных знаки мигрируют вместе с корнем в левую часть:
(контролируем, что – не решение)
навешиваем интегралы:
и сейчас вторая новинка, на этот раз по теме «Интегралы». Интеграл , как многие помнят, равен табличному «длинному» логарифму , а интеграл от не только тому же логарифму со знаком «минус», но и его «собрату»: . Желающие могут проверить этот факт дифференцированием.
И в нашем случае общий интеграл удобно записать так:
Упаковываем логарифмы правой части:
…возможно, у некоторых возник вопрос, почему я иногда вдруг убираю модуль под логарифмом? Причина проста – выражение под знаком логарифма, в данном случае , положительно, а значит, модуль записывать не обязательно.
и вот только теперь обратная замена :
Под корнем приведём слагаемые к общему знаменателю:
и небольшое чудо: поскольку , то в результате раскрытия модуля у нас появляются те же два случая со знаками :
после чего «минусы» сокращаются:
Таким образом, потеря второй ветки решения () нам бы здесь тоже «сошла с рук», но так, разумеется, бывает не всегда, и эту ветку можно реально потерять.
И заключительный штрих, сбрасываем на нижний этаж левой части:
Ответ: общий интеграл:
Я выполнил проверку общего интеграла, но приводить её не буду, а то вы больше не придете к такому маньяку. Да, попробуйте для интереса найти производную. Времяпровождение получите из разряда тех, о которых долго вспоминают. И гордятся.
И в заключение урока своего рода экзаменационный пример:
Решить дифференциальное уравнение
Проконтролируйте, всё ли вы правильно поняли, всё ли учли.
Итак:
при неравносильных преобразованиях ВСЕГДА проверяйте (по крайне мере, устно), не теряете ли вы решения! Какие это преобразования? Как правило, сокращение на что-то, деление на что-то, вынесение из-под корня / внесение под корень. Так, например, при делении на нужно проверить, не являются ли функции решениями дифференциального уравнения. В то же время при делении на надобность такой проверки отпадает – по причине того, что этот делитель не обращается в ноль.
Если проводится замена и есть квадратный корень, то легче лёгкого потерять одну из веток решения, поэтому не забываем про модуль: , и далее сохраняем знаки при корне, несоблюдение этого правила может привести к ошибочному ответу.
Вот ещё одна опасная ситуация:
Здесь, избавляясь от , следует проверить, не является ли решением исходного ДУ. Часто в качестве такого множителя встречается «икс», «игрек», и сокращая на них, мы теряем функции , которые могут оказаться решениями.
С другой стороны, если что-то ИЗНАЧАЛЬНО находится в знаменателе, то повода для такого беспокойства нет. Так, в однородном уравнении можно не беспокоиться о функции , так как она изначально «заявлена» в знаменателе.
Перечисленные тонкости не теряют актуальность, даже если в задаче требуется найти только частное решение. Существует пусть маленький, но шанс, что мы потеряем именно требуемое частное решение. Правда, задача Коши в практических заданиях с однородными уравнениями запрашивается довольно редко (уж не знаю, почему). Тем не менее, такие примеры есть в статье Уравнения сводящиеся к однородным, которую я рекомендую изучить «по горячим следам» чтобы закрепить свои навыки решения.
Существуют и более сложные однородные уравнения. Сложность состоит не в замене переменной или упрощениях, а в достаточно трудных или редких интегралах, которые возникают в результате разделения переменных. У меня есть примеры решений таких однородных уравнений – страшненькие интегралы и страшненькие ответы. Но о них не будем, потому что на ближайших уроках (см. ниже) ещё успею вас замучить я хочу вас видеть свежими и оптимистичными!
Решения и ответы:
Пример 2. Решение: проверим уравнение на однородность, для этого в исходное уравнение вместо подставим , а вместо подставим :
В результате получено исходное уравнение, значит, данное ДУ является однородным.
Проведем замену:
Подставим и в исходное уравнение:
Разделяем переменные и интегрируем:
Перед обратной заменой результат целесообразно упростить:
Ответ: общий интеграл:
Проверка: дифференцируем ответ:
умножаем обе части на :
и делим на :
– получено исходное ДУ, значит, общий интеграл найден верно.
Пример 4. Решение: проверим уравнение на однородность:
Таким образом, данное уравнение является однородным.
Проведем замену:
После подстановки проводим максимальные упрощения:
Разделяем переменные и интегрируем:
Контроль:
– не является решением уравнения ,
а вот , очевидно, является.
Интегрируем:
и перед обратной заменой записываем уравнение как можно компактнее:
Проведём обратную замену :
Решение в общий интеграл не вошло, и поэтому его следует дополнительно прописать в ответе:
общий интеграл: . Ещё одно решение:
Проверка:
– в результате получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.
Пример 6. Решение: данное ДУ является однородным, проведем замену :
Контроль: не является решением, а вот трёхчлен раскладывается на множители: , и поэтому в поле нашего пристального внимания попадают две функции:
Обе функции являются корнями ДУ (проверьте самостоятельно), и в результате деления мы рискуем потерять эти решения!
Берём их на заметку и продолжаем:
Методом неопределенных коэффициентов получим сумму дробей:
Получившийся общий интеграл упрощаем:
И после упрощений выполняем обратную замену :
На последнем рубеже вспоминаем о «потеряшках»: функция вошла в общий интеграл (при ), однако – НЕ вошла, и поэтому её необходимо приписать дополнительно:
Ответ: общий интеграл: . Еще одно решение:
Пример 9. Решение: разделим обе части на :
! является решением исходного уравнения.
Данное уравнение является однородным, проведем замену :
Разделяем переменные, при этом функцию следует обязательно оставить при корне:
(поскольку , если )
Контроль: оказался в знаменателе, а значит, проверке подлежит функция . Подставляем её вместе с её производной в исходное уравнение:
– получено верное равенство, значит, – это одно из решений ДУ.
Решение не вошло в общий интеграл, и поэтому его следует дополнительно указать в ответе.
Ответ: общий интеграл: , ещё решения: .
Примечание: если по условию требуется найти частное решение, например, с начальным условием , то следует выбрать нужную ветку: (т. к. «икс» равно ) и выполнить подстановку: – искомый частный интеграл.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения (ДУ). Эти два слова обычно приводят в ужас среднестатистического обывателя. Дифференциальные уравнения кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении и многим студентам. Уууууу… дифференциальные уравнения, как бы мне всё это пережить?!
Такое мнение и такой настрой в корне неверен, потому что на самом деле ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО. Что нужно знать и уметь, для того чтобы научиться решать дифференциальные уравнения? Для успешного изучения диффуров вы должны хорошо уметь интегрировать и дифференцировать. Чем качественнее изучены темы Производная функции одной переменной и Неопределенный интеграл, тем будет легче разобраться в дифференциальных уравнениях. Скажу больше, если у вас более или менее приличные навыки интегрирования, то тема практически освоена! Чем больше интегралов различных типов вы умеете решать – тем лучше. Почему? Придётся много интегрировать. И дифференцировать. Также настоятельно рекомендую научиться находить производную от функции, заданной неявно.
В 95% случаев в контрольных работах встречаются 3 типа дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассмотрим на этом уроке; однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения. Начинающим изучать диффуры советую ознакомиться с уроками именно в такой последовательности, причём после изучения первых двух статей не помешает закрепить свои навыки на дополнительном практикуме – уравнения, сводящихся к однородным.
Есть еще более редкие типы дифференциальных уравнений: уравнения в полных дифференциалах, уравнения Бернулли и некоторые другие. Наиболее важными из двух последних видов являются уравнения в полных дифференциалах, поскольку помимо данного ДУ я рассматриваю новый материал – частное интегрирование.
Если у вас в запасе всего день-два, то для сверхбыстрой подготовки есть блиц-курс в pdf-формате.
Итак, ориентиры расставлены – поехали:
Сначала вспомним «обычные» уравнения. Они содержат переменные и числа. Простейший пример: . Что значит решить подобное уравнение? Это значит, найти множество всех чисел, которые удовлетворяют данному уравнению. Легко видеть, что детское уравнение имеет единственный корень . Выполним проверку, подставив четвёрку в уравнение:
– получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.
Диффуры устроены примерно так же!
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .
В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – , и т. д.
Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению (впрочем, порой, достаточно одной). То есть корнями дифференциального уравнения являются функции. Для ДУ 1-го порядка такое множество функций зачастую имеет вид , который называют общим решением дифференциального уравнения («цэ» принимает различные действительные значения).
Решить дифференциальное уравнение
Полный боекомплект. С чего начать решение?
В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение , которое многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным. В диффурах рулит именно оно!
На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т. п.
Дифференциалы и – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:
Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».
Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:
Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:
Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу достаточно записать один раз (т. к. константа + константа всё равно равна другой константе). В большинстве случаев её помещают в правую часть.
Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть – это общий интеграл.
Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение.
Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) целесообразно записать тоже под логарифмом. И записать НЕПРЕМЕННО, если получились одни логарифмы (как в рассматриваемом примере).
То есть ВМЕСТО записи обычно пишут (и это корректно, так как с таким же успехом принимает все действительные значения, что и ).
Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем свойство логарифмов . В данном случае:
Теперь логарифмы и модули можно убрать:
Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.
Ответ: общее решение: .
Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. В нашем случае это делается совсем просто, берём найденное решение и дифференцируем его:
После чего подставляем и производную в исходное уравнение :
– получено равенство, верное для всех значений «икс» (тождество), значит, множество функций удовлетворяет уравнению , что и требовалось проверить.
Придавая константе различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Ясно, что любая из функций , , и т. д. удовлетворяет дифференциальному уравнению .
Иногда общее решение называют семейством функций. В данном примере общее решение – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.
После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях:
1) В этом примере нам удалось разделить переменные. Всегда ли это можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, в однородных уравнениях первого порядка, сначала нужно провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка, нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке – простейший тип дифференциальных уравнений.
2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое не проинтегрировать, кроме того, существуют неберущиеся интегралы. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов. Даламбер и Коши гарантируют. …тьфу, lurkmore.to давеча начитался, чуть не добавил «с того света».
3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла . Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например: . Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла
4) . Пожалуй, пока достаточно. В первом же примере нам встретился ещё один важный момент, связанный с переносом переменных в знаменатель, но дабы не накрыть «чайников» лавиной информации, оставлю его до следующего урока.
Торопиться не будем. Еще одно простое ДУ и еще один типовой приём решения:
Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию
Решение: по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса называется задачей Коши.
Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.
Переписываем производную в нужном виде:
Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – направо:
Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.
Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: . В данном случае:
Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:
Если – константа, то – тоже некоторая константа, переообозначим её через :
После чего раскрываем модуль:
и снова переобозначаем константу , подразумевая, что «цэ» может принимать как положительные, так и отрицательные значения:
Запомните «снос» константы – это второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений. На чистовике обычно сразу переходят от к , но всегда будьте готовы объяснить этот переход. Точно так же как вы – попросили меня объяснить, и я объяснил 🙂
Итак, общее решение: . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.
На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Это тоже просто.
В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось условие .
Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:
Стандартная версия оформления:
Теперь в общее решение подставляем найденное значение константы :
– это и есть нужное нам частное решение.
Ответ: частное решение:
Выполним проверку. Проверка частного решения включает в себя два этапа:
Сначала нужно проверить, а действительно ли найденная функция удовлетворяет начальному условию ? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится:
– да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.
Второй этап уже знаком. Берём полученную функцию и находим производную:
Подставляем и в исходное уравнение :
– получено тождество, далее я буду называть его верным равенством.
Вывод: частное решение найдено правильно.
Переходим к более содержательным примерам.
Решить дифференциальное уравнение
Решение: переписываем производную в нужном нам виде:
Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:
И перекидываем множители по правилу пропорции:
Переменные разделены, интегрируем обе части:
Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы, прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас.
Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак дифференциала, с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году:
В результате у нас получились одни логарифмы, и, согласно моей первой технической рекомендации, константу тоже определяем под логарифм.
Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. С помощью известных свойств максимально «упаковываем» логарифмы. Распишу очень подробно:
Упаковка завершена, чтобы быть варварски ободранной:
, и сразу-сразу приводим общий интеграл к виду , коль скоро это возможно:
Так делать, вообще говоря, не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора 😉
В принципе, этот шедевр можно записать в ответ, но здесь ещё уместно возвести обе части в квадрат и переобозначить константу:
Ответ: общий интеграл:
! Примечание: общий интеграл часто можно записать не единственным способом. Таким образом, если ваш результат не совпал с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.
Можно ли выразить «игрек»? Можно. Давайте выразим общее решение:
Само собой, полученный результат годится для ответа, но обратите внимание, что общий интеграл смотрится компактнее, да и решение получилось короче.
Третий технический совет: если для получения общего решения нужно выполнить значительное количество действий, то в большинстве случаев лучше воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Это же касается и «плохих» действий, когда требуется выразить обратную функцию, возвести в степень, извлечь корень и т. п. Дело в том, что общее решение будет смотреться вычурно и громоздко – с большими корнями, знаками и прочим математическим трэшем.
Как выполнить проверку? Проверку можно выполнить двумя способами. Способ первый: берём общее решение , находим производную и подставляем их в исходное уравнение . Попробуйте самостоятельно!
Второй способ состоит в дифференцировании общего интеграла. Это довольно легко, главное, уметь находить производную от функции, заданной неявно:
делим каждое слагаемое на :
Получено в точности исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.
Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения.
Напоминаю, что алгоритм состоит из двух этапов:
1) нахождение общего решения;
2) нахождение требуемого частного решения.
Проверка тоже проводится в два шага (см. образец в Примере № 2), нужно:
1) убедиться, что найденная функцию удовлетворяет начальному условию;
2) проверить, что они вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.
Полное решение и ответ в конце урока.
Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.
Решение: сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:
Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала:
Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку они положительны, то знаки модуля излишни:
(Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи надо бы уже знать)
Итак, общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию .
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:
Более привычное оформление:
Подставляем найденное значение константы в общее решение.
Ответ: частное решение:
Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие :
– всё гуд.
Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденная функция дифференциальному уравнению. Находим производную:
Смотрим на исходное уравнение: – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал :
Подставим функцию и полученный дифференциал в исходное уравнение :
Получено верное равенство, таким образом, частное решение найдено правильно.
Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения выразим производную, для этого разделим все штуки на :
И в полученное ДУ подставим с найденной производной . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.
Найти общий интеграл уравнения , ответ представить в виде .
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.
Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?
1) Не всегда очевидно (особенно, «чайнику»), что переменные можно разделить. Рассмотрим условный пример: . Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки: и отделить корни: . Как действовать дальше – понятно.
2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла, то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является простым, то пусть хоть интегралы будут посложнее».
3) Преобразования с константой. Как все заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно обращаться достаточно вольно, и некоторые преобразования не всегда понятны новичку. Рассмотрим ещё один условный пример: . В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2: . Полученная константа – это тоже какая-то константа, которую можно обозначить через : . Да, и поскольку у нас одни логарфимы, то константу целесообразно переписать в виде другой константы: .
Беда же состоит в том, что с индексами часто не заморачиваются и используют одну и ту же букву . В результате запись решения принимает следующий вид:
Что за дела?! Тут же ошибки! Строго говоря – да. Однако с содержательной точки зрения, ошибок нет, ведь в результате преобразования варьируемой константы получается равноценная варьируемая константа.
Или другой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл . Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому у каждого слагаемого целесообразно сменить знак: . Формально здесь опять ошибка – справа следовало бы записать . Но неформально подразумевается, что «минус цэ» – это всё равно константа, которая с тем же успехом принимает то же множество значений, и поэтому ставить «минус» не имеет смысла.
Я буду стараться избегать небрежного подхода, и всё-таки проставлять у констант разные индексы при их преобразовании. Чего и вам советую делать.
Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку.
Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
Интегрируем. В левой части подводим функцию под знак дифференциала, а в правой используем стандартный искусственный приём:
Константу тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.
Ответ: общий интеграл:
И, разумеется, здесь НЕ НАДО выражать «игрек» в явном виде, ибо получится трэш (вспоминаем третий технический совет).
Проверка: дифференцируем ответ (неявную функцию):
Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на :
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.
Найти частное решение ДУ.
,
Это пример для самостоятельного решения. Единственная подсказка – здесь получится общий интеграл, и, правильнее говоря, нужно исхитриться найти не частное решение, а частный интеграл. Полное решение и ответ в конце урока.
Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко вырисовываются не самые простые интегралы. И вот еще парочка таких примеров для самостоятельного решения. Рекомендую всем прорешать Примеры № 9-10, независимо от уровня подготовки, это позволит актуализировать навыки нахождения интегралов или восполнить пробелы в знаниях.
Решить дифференциальное уравнение
Решить дифференциальное уравнение
Помните, что общий интеграл можно записать не единственным способом, и внешний вид ваших ответов может отличаться от внешнего вида моих ответов. Краткий ход решения и ответы в конце урока.
Решения и ответы:
Пример 4. Решение: найдем общее решение. Разделяем переменные:
Интегрируем:
Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:
Выражаем функции в явном виде, используя .
Общее решение:
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»:
.
Способ второй:
Подставляем найденное значение константы в общее решение.
Ответ: частное решение:
Проверка: проверяем, действительно ли выполняется начальное условие:
, да, начальное условие выполнено.
Проверяем, удовлетворяет ли вообще функция дифференциальному уравнению. Сначала находим производную:
Подставим функцию и найденную производную в исходное уравнение :
Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.
Пример 6. Решение: данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Примечание: тут можно получить и общее решение:
Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, поскольку такой ответ смотрится довольно плохо.
Пример 8. Решение: данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
Интегрируем:
Общий интеграл:
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию . Подставляем в общее решение и :
Ответ: частный интеграл:
В принципе, ответ можно попричесывать и получить что-нибудь более компактное.
Пример 9. Решение: данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Левую часть интегрируем по частям:
В интеграле правой части проведем замену:
Таким образом:
(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов, но она настолько простая, что подбор коэффициентов можно выполнить и устно)
Обратная замена:
Ответ: общий интеграл:
Пример 10. Решение: данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Примечание: интеграл можно было также найти методом выделения полного квадрата.
Ответ: общее решение:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.
Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово «обыкновенные».
Примеры дифференциальных уравнений:
Уравнение (1) — четвёртого порядка, уравнение (2) — третьего порядка, уравнения (3) и (4) — второго порядка, уравнение (5) — первого порядка.
Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.
Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) — производной второго порядка и функции; в уравнении (4) — независимой переменной; в уравнении (5) — функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.
Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .
Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть первообразная для , т. е.
Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.
Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.
Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.
Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .
Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.
В результате мы получили общее решение —
данного дифференциального уравнения третьего порядка.
Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим
Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C, а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.
Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .
Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем
Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:
При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.
Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть , тогда .
Требуется взять dx и теперь — внимание — делаем это по правилам дифференцирования сложной функции, так как x и есть сложная функция («яблоко» — извлечение квадратного корня или, что то же самое — возведение в степень «одна вторая», а «фарш» — самое выражение под корнем):
Возвращаясь к переменной x, получаем:
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.
Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального исчисления, что производная может быть записана также в виде . В результате уравнение приобретает вид
то есть, в нём в некотором виде появился x.
Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции выткают следующие пропорции:
то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.
Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду
после чего интегрируем обе части уравнения:
Оба интеграла — табличные, находим их:
и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:
Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения для «чайников». Примеры решения
Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?
Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.
Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.
Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.
Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.
Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.
Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.
Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.
Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:
Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.
Примеры таких уравнений:
Уравнения с разделяющимися переменными
В общем виде этот тип уравнений выглядит так:
Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:
После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Такие уравнения имеют вид:
Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:
Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).
Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.
Пример решения ДУ с разделяющимися переменными
Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.
Сначала перепишем производную в более привычном виде:
Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все «игреки», а в другой – «иксы»:
Теперь осталось проинтегрировать обе части:
Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:
Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему «Как решать дифференциальные уравнения»:
Мы поможем сдать на отлично и без пересдач
- Контрольная работа от 1 дня / от 120 р. Узнать стоимость
- Дипломная работа от 7 дней / от 9540 р. Узнать стоимость
- Курсовая работа от 5 дней / от 2160 р. Узнать стоимость
- Реферат от 1 дня / от 840 р. Узнать стоимость
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.