С какого элемента считаются матрицы c
Матрица представляет собой прямоугольную таблицу элементов, в качестве которых могут выступать числа, функции, символы, слова и так далее — при условии, что заданы определенные правила математических действий с этими элементами.
Примеры матриц:
, 
.
Матричный элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, записывается в виде ai j , а выражение A = || ai j || означает, что матрица A составлена из элементов ai j :
.
Матричная алгебра имеет обширные применения в различных отраслях знания – в математике, физике, информатике, экономике. Например, матрицы используется для решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, нахождения значений физических величин в квантовой теории, шифрования сообщений в Интернете.
Матрица обозначается одной из заглавных букв латинского алфавита, а набор ее элементов помещается в круглые скобки:
 |
(1) |
Представленная формулой (1) матрица A имеет m строк и n столбцов и называется m×n матрицей (“эм на эн матрицей”) или матрицей размера m×n. Строки матрицы нумеруются сверху вниз, а столбцы – слева направо.
Рис. 1. Порядок нумерации строк и столбцов матрицы.
Матричный элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, называется i,j-м элементом и записывается в виде ai j , а выражение A = || ai j || означает, что матрица A составлена из элементов ai j .
Матрица размера 1×n называется строчной или вектор-строкой.
Матрица размера n×1 называется столбцевой или вектор-столбцом. Для краткости вектор-строку и вектор-столбец обычно называют просто векторами.
Особую роль играют матрицы, у которых число строк совпадает с числом столбцов, то есть матрицы размера n×n. Такие матрицы называются квадратными При ссылке на квадратную матрицу достаточно указать ее порядок. Например, матрица третьего порядка имеет размер 3×3.
Квадратная матрица порядка 1 отождествляется с единственным ее элементом.
С какого элемента считаются матрицы c
Рассмотрим матрицу \(A\) типа \((m,n)\). Пусть, для определенности, \(m \leq n\). Возьмем \(m\) строк и выберем \(m\) столбцов матрицы \(A\), на пересечении этих строк и столбцов получится квадратная матрица порядка \(m\), определитель которой называют минором порядка \(m\) матрицы \(A\). Если этот минор отличен от 0, его называют базисным минором и говорят, что ранг матрицы \(A\) равен \(m\). Если же этот определитель равен 0, то выбирают другие \(m\) столбцов, на их пересечении стоят элементы, образующие другой минор порядка \(m\). Если минор равен 0, продолжаем процедуру. Если среди всех возможных миноров порядка \(m\) нет отличных от нуля, мы выбираем \(m-1\) cтрок и столбцов из матрицы \(A\), на их пересечении возникает квадратная матрица порядка \(m-1\), ее определитель называется минором порядка \(m-1\) исходной матрицы. Продолжая процедуру, ищем ненулевой минор, перебирая все возможные миноры, понижая их порядок.
Ненулевой минор данной матрицы наивысшего порядка называется базисным минором исходной матрицы, его порядок называется рангом матрицы \(A\), строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называются базисныи строками и столбцами. Ранг матрицы обозначается \(rang(A)\).
Из этого определения следуют простые свойства ранга матрицы: это целое число, причем ранг ненулевой матрицы удовлетворяет неравенствам: \(1 \leq rang(A) \leq \min(m,n)\).
Как изменится ранг матрицы, если вычеркнуть какую-нибудь строку? Добавить какую-нибудь строку?
Проверить ответ
1) Ранг может уменьшиться на 1.
2) Ранг может увеличиться на 1.
Линейная зависимость и линейная независимость столбцов матрицы
Пусть \(A\) — матрица типа \((m,n)\). Рассмотрим столбцы матрицы \(A\) — это столбцы из \(m\) чисел каждый. Обозначим их \(A_1,A_2. A_n\). Пусть \(c_1,c_2. c_n\) — какие-то числа.
Столбец \[ D=c_1A_1+c_2A_2+. +c_nA_n = \sum _^nc_mA_m \] называется линейной комбинацией столбцов \(A_1,A_2. A_n\), числа \(c_1,c_2. c_n\) называются коэффициентами этой линейной комбинации.
Пусть дано \(p\) столбцов \(A_1, A_2, . A_p\). Если существуют такие числа \(c_1,c_2. c_p\), что
1. не все эти числа равны нулю,
2. линейная комбинация \(c_1A_1+c_2A_2+. +c_pA_p =\sum _^pc_mA_m\) равна нулевому столбцу (т.е. столбцу, все элементы которого нули), то говорят, что столбцы \(A_1, A_2, . A_p\) линейно зависимы. Если для данного набора столбцов таких чисел \(c_1,c_2. c_n\) не существует, столбцы называются линейно независимыми.
\[ A_1=\left( \begin 1 \\ 0 \end \right), A_2=\left( \begin 0 \\ 1 \end \right), \] тогда для любых чисел \(c_1,c_2\) имеем: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left( \begin 1 \\ 0 \end \right)+c_2\left( \begin 0 \\ 1 \end \right)=\left( \begin c_1 \\ c_2 \end \right). \]
Эта линейная комбинация равна нулевому столбцу тогда и только тогда, когда оба числа \(c_1,c_2\) равны нулю. Таким образом, эти столбцы линейно независимы.
Для того, чтобы столбцы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.
Пусть столбцы \(A_1,A_2. A_m\) линейно зависимы, т.е. для некоторых констант \(\lambda _1, \lambda _2. \lambda _m\), не все из которых равны 0, выполняется: \[ \sum _
Теорема о базисном миноре
Для любой ненулевой матрицы \(A\) справедливо следующее:
1. Базисные столбцы линейно независимы.
2. Любой столбец матрицы является линейной комбинацией его базисных столбцов.
(Аналогичное верно и для строк).
Пусть, для определенности, \((m,n)\) — тип матрицы \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) и базисный минор расположен в первых \(r\) строках и столбцах матрицы \(A\). Пусть \(s\) — любое число между 1 и \(m\), \(k\) — любое число между 1 и \(n\). Рассмотрим минор следующего вида: \[ D=\left| \begin a_ & a_ & \ldots & a_ & a_ \\ a_ & a_ & \ldots & a_ & a_ \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_ & a_ & \ldots & a_ & a_ \\ a_ & a_ & \ldots & a_ & a_ \\ \end \right| , \] т.е. мы к базисному минору приписали \(s-\)ый столбец и \(k-\)ую строку. По определению ранга матрицы этот определитель равен нулю (если мы выбрали \(s\leq r\) или \(k \leq r\) , значит в этом миноре 2 одинаковых столбца или 2 одинаковых строки, если \(s>r\) и \(k>r\) — по определению ранга минор размера больше \(r\) обращается в ноль). Разложим этот определитель по последней строке, получим: \[ a_A_+a_A_+. +a_A_+a_A_=0. \quad \quad(16) \]
Здесь числа \(A_\) — алгебраические дополнения элементов из нижней строки \(D\). Их величины не зависят от \(k\), т.к. образуются с помощью элементов из первых \(r\) строк. При этом величина \(A_\) — это базисный минор, отличный от 0. Обозначим \(A_=c_1,A_=c_2. A_=c_s \neq 0\). Перепишем в новых обозначениях (16): \[ c_1a_+c_2a_+. +c_ra_+c_sa_=0, \] или, разделив на \(c_s\), \[ a_=\lambda_1a_+\lambda_2a_+. +\lambda_ra_, \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Это равенство справедливо для любого значения \(k\), так что \[ a_=\lambda_1a_+\lambda_2a_+. +\lambda_ra_, \] \[ a_=\lambda_1a_+\lambda_2a_+. +\lambda_ra_, \] \[ . \] \[ a_=\lambda_1a_+\lambda_2a_+. +\lambda_ra_. \] Итак, \(s-\)ый столбец является линейной комбинацией первых \(r\) столбцов. Теорема доказана.
Из теоремы о базисном миноре следует, что ранг матрицы равен числу ее линейно независимых столбцов (которое равно числу линейно независимых строк).
Если определитель равен нулю, то у него есть столбец, который является линейной комбинацией остальных столбцов.
Если ранг матрицы меньше числа столбцов, то столбцы матрицы линейно зависимы.
Вычисление ранга матрицы и нахождение базисного минора
Некоторые преобразования матрицы не меняют ее ранг. Такие преобразования можно назвать элементарными. Соответствующие факты нетрудно проверить с помощью свойств определителей и определения ранга матрицы.
1. Перестановка столбцов.
2. Умножение элементов какого-нибудь столбца на ненулевой множитель.
3. Прибавление к столбцу любого другого столбца, умноженного на произвольное число.
4. Вычеркивание нулевого столбца.
Аналогичное верно и для строк.
С помощью этих преобразований матрицу можно преобразовать к так называемой «трапециевидной» форме — матрице, под главной диагональю которой располагаются только нули. Для «трапециевидной» матрицы ранг — это число ненулевых элементов на главной диагонали, и базисный минор — минор, диагональ которого совпадает с набором ненулевых элементов на главной диагонали преобразованной матрицы.
\[ A=\left( \begin 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end \right). \] Будем преобразовывать ее с помощью указанных выше преобразований. \[ A=\left( \begin 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end \right) \mapsto \left( \begin 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end \right) \mapsto \left( \begin 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end \right) \mapsto \] \[ \left( \begin 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right)\mapsto \left( \begin 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end\right). \]
Здесь мы последовательно делаем следующие шаги: 1) переставляем вторую строку наверх, 2) вычитаем первую строку из остальных с подходящим множителем, 3) вычитаем вторую строку из третьей 4 раза, прибавляем вторую строку к четвертой, 4) вычеркиваем нулевые строки — третью и четвертую. Наша итоговая матрица прибрела желаемую форму: на главной диагонали стоят ненулевые числа, под главной диагональю — нули. После этого процедура останавливается и число ненулевых элементов на главной диагонали равно рангу матрицы. Базисный минор при этом — две первые строки и два первых столбца. На их пересечении стоит матрица порядка 2 с ненулевым определителем. При этом, возвращаясь по цепочке преобразований в обратную сторону, можно проследить, откуда возникла та или иная строка (тот или иной столбец) в конечной матрице, т.е. определить базисные строки и столбцы в исходной матрице. В данном случае первые две строки и первые два столбца образуют базисный минор.
Пусть \(A\) — матрица типа \((m,n)\) ранга \(r_1\), \(B\) — матрица типа \((p,n)\) ранга \(r_2\). Объединим их строки — получим матрицу \(C\). Можно ли дать двустороннюю оценку ранга матрицы \(C\)?
Проверить ответ
\(max(r_1, r_2) \leq rang(C) \leq \min(n, r_1 + r_2)\)
1. Вычислить ранг матрицы
а) \[ \left( \begin 1 &2 &1 & 1 \\ 2& 4 & 2 & 2\\ 3 & 6& 3& 5 \end \right) . \]
б) \[ \left( \begin 1 &7 &7 & 9 \\ 7& 5 & 1 & -1\\ 4 & 2& -1& -3 \\ -1 & 1 & 3 &5 \end \right) . \]
в) \[ \left( \begin 2 & 1 &11 & 2 \\ 1& 0 & 4 & -1\\ 11 & 4& 56& 5 \\ 2 & -1 & 5 &- 6 \end \right) . \]
г) \[ \left( \begin 5 & 4 & 1 & 3 \\ 2& 1 & 1 & 4\\ 3 & 2& 1& 1 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \end \right) . \]
2. Доказать равенство \(rang(A)=rang(A^T)\).
3. Пусть \(A\) и \(B\) — матрицы с одинаковым числом строк. Доказать, что \[ rang\left( \begin A & B\\ 2A & 3B \end \right)=rang(A)+rang(B). \]
С какого элемента считаются матрицы c
Трудно представить себе систему чисел, которая бы не содержала единичный элемент. В частности, именно единица является результатом умножения числа a на ему обратное. Алгебра любых объектов (вещественных или комплексных чисел, векторов и так далее) должна включать в себя единичный элемент. Не является исключением и матричная алгебра, в которой роль единицы играет диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице.
В качестве определения единичной матрицы могло бы выступать примерно такое.
Матрица E называется единичной, если при умножении на нее любой матрицы A (слева и справа) матрица A остается неизменной: AE = EA = A.
Оказывается, что элементы единичной матрицы описываются ранее введенным выражением δ i j .
Разумеется, что такое утверждение о структуре единичной матрицы требует проверки. И следует позаботиться о соответствующем обобщении понятия единичного элемента в матричной алгебре — по сравнению с обычной единицей в системе чисел.
Связано это с тем, что операция умножения определена не для любых матриц и, следовательно, требуется определенное согласование размеров иатриц-сомножителей. В результате под единичной матрицей понимается матрица вышеуказанной структуры, порядок которой выбирается таким, чтобы соответствующее произведение было определено.
 . |
(1) |
В матричной алгебре матрица E играет ту же роль, что число единица в системе вещественных чисел, а именно – при умножении на единичную матрицу (справа или слева) исходная матрица не изменяется:
 . |
(2) |
Действительно, пусть – произвольная матрица размера m×n. Рассмотрим i,j-ый элемент матричного произведения AE, где E – единичная матрица n-го порядка.
Согласно определению матричного произведения и с учетом свойств дельта-символа,
 |
(3) |
для любых допустимых значений индексов i,j и, следовательно, AE = A.
Рассмотрим теперь i,j-ый элемент матричного произведения EA, где E – единичная матрица m-го порядка:
 |
(4) |
С какого элемента считаются матрицы c
3.3. Понятие матрицы. Основные матричные операции
Если выражений расставлены в прямоугольной таблице из строк и столбцов:
то говорят о матрице размера , или сокращенно об — матрице. Выражения называются элементами матрицы. Положение элемента в таблице характеризуется двойным индексом; первый индекс означает номер строки, второй- номер столбца, на пересечении которых стоит элемент (нумерация строк производится сверху вниз, а столбцов — слева направо). Элементами матрицы, как правило, являются числа, но иногда и другие математические объекты, например, векторы, многочлены, дифференциалы и даже матрицы. Матрица обозначается следующими способами :
Матрица размера называется квадратной матрицей порядка п.
Определитель квадратной матрицы.
Каждой квадратной матрице порядка с действительными или комплексными элементами можно однозначно поставить в соответствие действительное или комплексное число , которое называется определителем матрицы .
причем сумма должна быть распространена на все подстановки набора чисел
Если — определитель порядка , то минором элемента называют определитель порядка , получающийся из “вычеркиванием” i — й строки и j -го столбца.
Вычисление определителей.
Рассмотрим какую-либо четверку чисел, записанных в виде матрицы по два в строках и по два столбцах. Определителем или детерминантом, составленным из чисел этой таблицы, называется число ad — bc , обозначаемое так: . Такой определитель называется определителем второго порядка, поскольку для его составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами; при этом говорят, что элементы a и d составляют главную диагональ определителя, а элементы b и c его побочную диагональ. Видно, что определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях. Определитель третьего и любого другого порядка находится примерно также, а именно: Допустим, что у нас есть квадратная матрица . Определителем матрицы является выражение: + + – – – . С положительным знаком идут главная диагональ и образующиеся из элементов треугольники, имеющие параллельную главной диагонали сторону, в данном случае это треугольники , . С отрицательным знаком идут побочная диагональ и треугольники ей параллельные, т.е. , .
Основные операции над матрицами.
Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.
Матрицы равны, если они имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.
Перейдем к определению основных операций над матрицами.
Сложение матриц: Суммой двух матриц, например: , имеющих одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков называется матрица тех же порядков , элементы которой равны:
Для обозначения суммы двух матриц используется запись . Операция составления суммы матриц называется их сложением
Итак по определению имеем:
Из определения суммы матриц, непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:
1) переместительным свойством:
2) сочетательным свойством:
Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.
Умножение матрицы на число:
Произведением матрицы на вещественное число называется матрица , элементы которой равны .
Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = A или C = A . Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.
Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:
1) распределительным свойством относительно суммы матриц:
2) сочетательным свойством относительно числового множителя:
3) распределительным свойством относительно суммы чисел:
( + ) A = A + A .
Перемножение матриц:
Произведением матрицы , имеющей порядки соответственно равные m и n , на матрицу , имеющую порядки соответственно равные n и p , называется матрица , имеющая порядки, соответственно равные m и p , и элементы c ij , определяемые формулой
Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись C = AB . Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B : необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B . Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.
Это правило можно сформулировать и словесно: Элемент c ij , стоящий на пересечении i — й строки и j -го столбца матрицы C = AB , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i — й строки матрицы A и j -го столбца матрицы B . В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка
Свойства произведения матрицы A на матрицу B :
1) сочетательное свойство: ( AB ) C = A ( BC ) ;
2) распределительное относительно суммы матриц свойство:
(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.