Составные числа
Из нескольких простых множителей складываются составные числа. О них и пойдет речь материале. Выясняем, какое наименьшее и наибольшее составное число и из каких значений состоит список составных чисел до 100
Счет в жизни человека присутствовал всегда. Для него первобытные люди использовали сначала пальцы рук. Затем – дополнительные приспособления, например узелки или веревочки. Позднее стали применять свойства чисел.
Еще в III веке до н. э. в своем известном труде «Начала» древнегреческий математик Евклид вводит понятие простых и составных чисел. Последним он дает такую характеристику: множество, составленное из единиц. К слову, в XIX веке такие числа называли еще сложными.
В шестом классе, когда ученики изучают признаки делимости числа, они знакомятся с основными свойствами простых и составных чисел. Ведь принципы их образования, главные закономерности ложатся в основу всех арифметических действий и геометрических доказательств. Считается, если ребенок поймет классификацию простых и составных чисел, то дальше все примеры и задачи по математике будут ему понятны.
Определение составных чисел
Составным называется любое натуральное число, которое имеет еще хотя бы один делитель, кроме себя и единицы.
Обратите внимание на примеры, чтобы понять разницу между простыми и составными числами
2 – это простое число. Оно делится на 1 и 2.
6 – это составное число. Оно делится на 1, 2, 3 и 6.
1 – число, которое не является ни простым, ни составным. У него только один делитель – 1.
это интересно
Натуральные числа
Их разряды, классы и свойства
Натуральные составные числа
Его пока нет, и вряд ли оно будет. Числа представляют собой бесконечность различных вариантов, которые можно расчленить на мелкие делители. Математики только выделяют самое большое простое число – здесь есть, за что бороться. Составные числа, будь то число Грэма (обозначают G64) или другие огромные числа, такого интереса не вызывают.
Натуральными составными числами являются все целые положительные числа, которые имеют два множителя больше единицы. При этом каждое составное число раскладывается на простые множители.
12 – составное число. Его можно представить как произведение двух натуральных чисел 3х4 или 6х2. В обеих парах есть простые и составные числа. Если разложить их на простые множители, получится так: 12 = 3х2х2.
77 – составное число. Его можно представить как произведение двух натуральных чисел 7х11. Оба они – простые. Значит, дальше их разложить не получится.
это интересно
Таблица составных чисел
Скачайте таблицу составных чисел и используйте ее при подготовке к урокам
Наименьшее составное число
Наименьшее составное число – 4. Оно имеет три делителя: 1, 2 и 4.
Список составных чисел до 100
Для систематизации использования натуральных чисел разработаны специальные таблицы простых и составных чисел. В частности, в таблицу составных чисел первой сотни входят 74 числа. Открывает ее наименьшее составное число 4. Замыкает число 100 с девятью делителями: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.
| 4 | 6 | 8 | 9 | 10 | 12 | 14 | 15 | 16 | 18 | 20 | 21 |
| 22 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 30 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |
| 38 | 39 | 40 | 42 | 44 | 45 | 46 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |
| 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 60 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 68 |
| 69 | 70 | 72 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 80 | 81 | 82 | 84 |
| 85 | 86 | 87 | 88 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 98 |
| 99 | 100 |
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Павел Бучко, академический директор по математике онлайн-школы Skysmart.
Как определить, составное число или нет?
Все натуральные числа, которыми мы пользуемся при счете, делятся на три типа: простые, составные и единица. Простые числа – это те, что делятся без остатка только на 1 и на само себя. Например, числа 2, 3, 5, 53 будут простыми. Составные числа – это числа, которые имеют еще делители, помимо 1 и самого себя. Например, число 4 можно разделить без остатка на 2.
Определить, является ли число составным или простым, довольно легко, если оно небольшое. Можно использовать простой перебор: будем делить наше число на все числа меньше искомого и, если мы найдем хотя бы одно, на которое можно разделить без остатка, – значит, наше число является составным, иначе оно простое. Однако этот алгоритм очень громоздкий даже для небольших чисел, поэтому можно использовать перебор простых делителей: когда мы последовательно делим проверяемое число на простые числа от 2 до квадратного корня из проверяемого числа.
Например, мы хотим проверить является ли число 83 простым или составным, тогда мы последовательно делим его на 2, 3, 5, 7 и выясняем, что оно не делится ни на одно из этих чисел, а значит, является простым. При этом число 11 уже можно не брать, потому что 11х11 = 121, что больше 83.
Этот алгоритм не используется в практических задачах из-за большой вычислительной сложности. А для определения простоты очень больших чисел (больше, чем 10 в 100 степени) задача становится крайне сложной и требует больших вычислительных мощностей и времени работы.
Для чего математики используют составные числа?
Составные числа используются в криптографии: при шифровании информации в алгоритмах электронной цифровой подписи. Например, благодаря таким числам, мы можем безопасно делать покупки в интернете.
Можно ли запомнить все составные числа?
Составных чисел, как и простых, бесконечное множество, поэтому запомнить их все невозможно. Однако можно помнить несколько простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 и 31), чтобы проверить любое число до 1000 на простоту, пользуясь алгоритмом выше.
Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена
В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.
Простые и составные числа – определения и примеры
Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.
Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться
Простые и составные числа
Тема «Простые и составные числа» — это основа для понимания арифметики и математики в целом.
Для начала, давай определим, что такое простые и составные числа.
Что такое простые числа
Простые числа — это числа, которые имеют ровно два делителя: 1 и само число. Например, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д. Все простые числа больше 1.
Что такое составные числа
Составные числа — это числа, которые имеют более двух делителей. Например, 4, 6, 8, 9, 10, 12 и т.д. В составные числа входят все числа, кроме простых.
Чтобы определить, является ли число простым или составным, необходимо разложить его на простые множители. Это можно сделать с помощью метода факторизации.
Например, для числа 20, мы можем разложить его на простые множители следующим образом: 20 = 2 x 2 x 5. Значит, 20 — это составное число, которое можно разложить на простые множители 2 и 5.
Чтобы проверить, является ли число простым, необходимо проверить, делится ли оно на любое число, кроме 1 и самого себя. Если число делится на какое-то другое число, то оно является составным.
Например, число 7 — простое, потому что оно делится только на 1 и на само себя. А число 9 — составное, потому что оно делится на 1, 3 и на само себя.
Простые числа являются важными в математике и науке в целом. Они используются, например, в шифровании данных, в теории чисел и в других областях.
Давайте вспомним, как разложить число на простые множители, для этого нам надо разбить число на простые множители:
Другими словами, составное число имеет более двух делителей. Все четные числа являются составными числами, кроме \(2\) .
Все числа, которые заканчиваются на пять, делятся на пять. Поэтому все числа, кратные 5 и больше пяти, являются составными числами.
Натуральное число, которое имеет только два делителя, единицу и само себя, называется простым. Числа \(0\) и \(1\) не являются ни простыми, ни составными. Если любое целое число больше \(1\) не является простым числом, то это составное число. Ниже приведена таблица простых чисел.
Что такое «решето Эратосфена»
Решето Эратосфена — это метод нахождения всех простых чисел до заданного числа. Этот метод был придуман древнегреческим ученым Эратосфеном, который был известен своими работами в области геометрии, астрономии и математики.
Суть метода Решета Эратосфена заключается в последовательном отсеивании составных чисел, начиная с числа 2, которое является первым простым числом. Сначала мы выписываем все числа от 2 до заданного числа в ряд, затем вычеркиваем все кратные 2 числа, оставляя только 2 как простое число. Затем мы переходим к следующему незачеркнутому числу, которое будет простым числом, и вычеркиваем все его кратные числа. И так далее, пока не достигнем заданного числа.
Например, для того, чтобы найти все простые числа до 30, мы выписываем все числа от 2 до 30:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Затем мы начинаем вычеркивать все кратные числа 2, оставляя только 2:
2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
Затем мы переходим к следующему незачеркнутому числу (3) и вычеркиваем все его кратные числа, оставляя только 3:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
Затем мы переходим к следующему незачеркнутому числу (5) и вычеркиваем все его кратные числа, оставляя только 5:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
И так далее, пока не достигнем заданного числа.
В итоге мы получим все простые числа до заданного числа:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Метод Решета Эратосфена является эффективным способом нахождения всех простых чисел до заданного числа, особенно если заданное число большое.
Алгоритм проверки числа на простоту с доказательством и примером
Алгоритм проверки числа на простоту можно реализовать разными способами, но один из наиболее эффективных и простых методов — это проверка делителей.
Алгоритм проверки числа на простоту:
Проверяем, является ли число меньше или равным 1. Если да, то число не является простым.
Проверяем, является ли число 2. Если да, то число является простым.
Проверяем, является ли число четным. Если да, то число не является простым, за исключением случая, когда это число 2.
Для нечетного числа n проверяем, есть ли у него делитель d, такой что 1 < d < n и d является делителем n. Если такой делитель найден, то n не является простым числом. В противном случае n является простым числом.
Доказательство:
Как известно, простое число это такое число, которое имеет только два делителя: 1 и само число. Другими словами, если n является простым числом, то у него нет делителей, кроме 1 и самого n. Поэтому для проверки числа n на простоту достаточно проверить, есть ли у него делитель d, такой что 1 < d < n. Если такой делитель найден, то n не является простым числом. Если такого делителя нет, то n является простым числом.
Пример:
Проверим, является ли число 17 простым числом, используя алгоритм проверки делителей.
Число 17 не меньше или равно 1.
Число 17 не является 2.
Число 17 не является четным.
Проверяем, есть ли у числа 17 делитель d, такой что 1 < d < 17 и d является делителем 17. Начнем с делителя 3. 17 не делится на 3 без остатка. Попробуем делитель 5. 17 не делится на 5 без остатка. Продолжим проверку для делителей 7, 9, 11 и 13. Ни один из этих делителей не является делителем 17. Значит, 17 является простым числом.
Таким образом, мы проверили, что 17 является простым числом, используя алгоритм проверки делителей.
Задача 1. Найдите наименьшие два простых числа, разность которых равна 40.
- возьмем число \(2:40+2=42-\) составное число;
- число \(3:40+3=43 -\) – простое число, нам подходит;
- число \(5:40+5=45-\) составное число;
- число \(7:40+7=47-\) простое число, нам подходит;
- \(43
Ответ: \(43\) и \(3\) .
Часто задаваемые вопросы:
↪ Простое число — это натуральное число, которое имеет ровно два различных делителя: 1 и само число.
↪ Составное число — это натуральное число, которое имеет больше двух различных делителей, то есть кроме 1 и самого числа есть еще как минимум один делитель.
↪ Если число имеет делитель, кроме 1 и самого себя, то оно является составным. Если же у числа нет других делителей, кроме 1 и самого себя, то оно является простым.
- Что такое простые числа
- Что такое составные числа
- Что такое «решето Эратосфена»
- Алгоритм проверки числа на простоту с доказательством и примером
- Часто задаваемые вопросы:
Дарим в подарок бесплатный вводный урок!
Репетиторы
Репетитор по математике- Репетитор по физике
- Репетитор по химии
- Репетитор по русскому языку
- Репетитор по английскому языку
- Репетитор по обществознанию
- Репетитор по истории России
- Репетитор по биологии
- Репетитор по географии
- Репетитор по информатике
Специализация
- Репетитор по олимпиадной математике
- Репетитор по геометрии
- Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень)
- Репетитор для подготовки к ЕГЭ по физике
- Подготовка к олимпиадам по физике
- Репетитор для подготовки к сочинению ЕГЭ по русскому
- Репетитор для подготовки к ОГЭ по истории
- Репетитор для подготовки к ЕГЭ по обществознанию
- Репетитор по географии для подготовки к ЕГЭ
- Scratch
Предметы по класам
- 1 класс
- 2 класс
- 3 класс
- 4 класс
- 5 класс
- 6 класс
- 7 класс
- 8 класс
- 9 класс
- 10 класс
- 11 класс
- Не школьник
Значение слова «составной»
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
- СОСТАВНО’Й, а́я, о́е. 1. Составленный из нескольких различных частей. Составное стекло. Составные шкивы.2. Входящий в состав чего-н. С. элемент химического соединения. Составная часть государства. Идеализация крестьянства и его общины — одна из необходимых составных частей народничества. Ленин.
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
составно́й
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.
Вопрос: гарцевание — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?
Нейтральное
Положительное
Отрицательное
Ассоциации к слову «составной»
Синонимы к слову «составной»
Предложения со словом «составной»
- Сестринское дело является составной частью системы здравоохранения, областью деятельности, направленной на решение проблем индивидуального и общественного населения в меняющихся условиях окружающей среды.
Цитаты из русской классики со словом «составной»
- Отвлеченное качество бытия, предикат бытия есть лишь внутренняя составная часть конкретно-существующего, единичного; общее — бытийственное, общее — универсальное, общее — человеческое находится в конкретной человеческой личности, а не наоборот.
Сочетаемость слова «составной»
- составная часть
составные элементы
составной лук - составная часть культуры
- входить составной частью
разложить на составные части
разлагаться на составные части - (полная таблица сочетаемости)
Что (кто) бывает «составным»
Понятия, связанные со словом «составной»
Язык химии (химический язык) — система важнейших понятий химии и терминов, в которых они описываются, символы химических элементов, номенклатура неорганических и органических веществ (их названия, в том числе и тривиальные), химические формулы и уравнения, а также правила перевода информации с естественного языка на язык химии и обратно.
Инвариа́нт или инвариа́нтность — термин, обозначающий нечто неизменяемое. Конкретное значение термина зависит от той области, где он используется.
Техническая система — искусственно созданная система, предназначенная для удовлетворения определенной потребности, существующая 1) как изделие производства, 2) как устройство, потенциально готовое совершить полезный эффект, 3) как процесс взаимодействия с компонентами окружающей среды, в результате которого образуется полезный эффект.
Структурная индукция — конструктивный метод математического доказательства, обобщающий математическую индукцию (применяемую над натуральным рядом) на произвольные рекурсивно определённые частично упорядоченные совокупности. Структурная рекурсия — реализация структурной индукции в форме определения, процедуры доказательства или программы, обеспечивающая индукционный переход над частично упорядоченной совокупностью.
Декомпозиция — разделение целого на части. Также декомпозиция — это научный метод, использующий структуру задачи и позволяющий заменить решение одной большой задачи решением серии меньших задач, пусть и взаимосвязанных, но более простых.
Афоризмы русских писателей со словом «составной»
- Метод науки… — анализ; метод искусства — синтез. Наука путем сравнений, сопоставлений, соотношений пытается разложить явления мира на их составные элементы. Искусство путем аналогий жаждет связать элементы мира в некоторые целые. Наука, следовательно, дает те элементы, из которых творит художник, и искусство начинается там, где наука останавливается.