Что такое конечная десятичная дробь

Бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби

В десятичной записи конечной десятичной дроби после запятой стоит конечное число десятичных знаков.

В десятичной записи бесконечной десятичной дроби после запятой стоит бесконечное число десятичных знаков.

Бесконечные десятичные дроби бывают периодическими и непериодическими.

Бесконечной периодической десятичной дробью называют такую дробь, десятичные знаки которой, начиная с некоторого, представляют собой повторение одной и той же группы цифр, состоящей или из одной цифры, отличной от 0 и 9 , или из нескольких цифр, причем последовательность цифр при повторении в этой группе не изменяется.

Повторяющаяся группа цифр называется периодом бесконечной периодической десятичной дроби.

Для обозначения периода десятичной дроби используют круглые скобки.

2,616161… = 2,(61) ; 53222222… = 5,3(2) .

ЗАМЕЧАНИЕ . Еще раз подчеркнем, что период бесконечной десятичной дроби не может состоять из одной или нескольких цифр 0 и не может состоять из одной или нескольких цифр 9 .

Бесконечная десятичная дробь, не являющаяся периодической, называется непериодической.

Алгоритм обращения бесконечной периодической десятичной дроби в простую дробь

Разберем алгоритм обращения бесконечной периодической десятичной дроби в простую дробь на примере решений следующих задач.

ЗАДАЧА 1 . Обратить периодическую дробь

в простую дробь.

РЕШЕНИЕ . Если ввести обозначение

то, умножив это соотношение на 100 , получим:

100x – x = 99 x = 45,0000… = 45.

ЗАДАЧА 2 . Обратить периодическую дробь

в простую дробь.

РЕШЕНИЕ . Если ввести обозначение

то, умножив это соотношение на 10 , получим:

Десятичная дробь

$\pm d_m \ldots d_1 d_0, d_<-1> d_ \ldots» width=»» height=»» /> <img decoding=$ — знак дроби: либо , либо , — десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа (российский стандарт) [1] , d_k — десятичные цифры. Причём последовательность цифр до запятой (слева от неё) конечна (как минимум одна цифра), а после запятой (справа от неё) — может быть как конечной (в частности, цифры после запятой могут вообще отсутствовать), так и бесконечной.

(конечная десятичная дробь)
Представление числа $\pi$ в виде бесконечной десятичной дроби:

$\pm d_m \ldots d_1 d_0, d_<-1> Значением десятичной дроби d_ \ldots» width=»» height=»» /> является действительное число <img decoding=$

что совпадает с записью этого числа в десятичной системе счисления.

Соглашения о записи десятичных дробей

Обычно в полной записи десятичной дроби

$\pm d_m \ldots d_1 d_0, d_<-1> d_ \ldots» width=»» height=»» /> <img decoding=$

последовательность цифр до запятой объединяют в одно неотрицательное целое , десятичной записью которого эта последовательность цифр является, то есть

$a_0 = \sum_<k=0> ^ d_k \cdot 10^k» width=»» height=»» /> и саму десятичную дробь записывают в сокращенной форме <img decoding=$

в которой, кроме того, знаки после запятой для удобства перенумерованы положительными индексами. Десятичная дробь, записанная в сокращённой форме, является представлением действительного числа

$\pm \sum_<k=0> ^ <\infty>a_k \cdot 10^» width=»» height=»» /> <img decoding=$

Знак («плюс») перед дробью обычно опускают.

Конечные и бесконечные десятичные дроби

Конечные дроби

Десятичная дробь называется конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (в частности, ни одного), то есть имеет вид

$\pm a_0,a_1 a_2 \ldots a_n$

В соответствии с определением эта дробь представляет число

$\pm \sum_<k=0> ^ a_k \cdot 10^» width=»» height=»» /> Легко видеть, что это число можно представить в виде обыкновенной дроби вида <img decoding=$ — целое, а — целое неотрицательное, можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Если обыкновенную дробь p/10^<s>» width=»» height=»» /> привести к несократимому виду, ее знаменатель будет иметь вид <img decoding= знаменатель не имеет простых делителей, отличных от и .

Бесконечные дроби

Бесконечная десятичная дробь

$\pm a_0, a_<1> a_ \ldots» width=»» height=»» /> представляет, согласно определению, действительное число <img decoding=$ и десятичные цифры $a_1, a_2, \ldots$ . Это предложение вытекает из того факта, что данный ряд мажорируется сходящимся рядом

$a_0 + \sum_<k=1> ^ <\infty>9 \cdot 10^» width=»» height=»» /> <h3>Представление действительных чисел десятичными дробями</h3> Таким образом, всякая конечная или бесконечная десятичная дробь представляет некоторое вполне определённое действительное число. Остаются следующие вопросы: <ol> <li>Всякое ли действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби?</li> <li>Единственно ли такое представление?</li> <li>Каков алгоритм разложения числа в десятичную дробь?</li> </ol> Эти вопросы освещаются ниже. <h4>Алгоритм разложения числа в десятичную дробь</h4> <img decoding=$

Ниже описывается алгоритм построения по произвольному действительному числу десятичной дроби, которая является его представлением.

Рассмотрим вначале случай $\alpha \geqslant 0$ . Разделим всю числовую прямую целочисленными точками на отрезки единичной длины. Рассмотрим тот отрезок I_0 , который содержит точку $\alpha$ ; в частном случае, когда точка $\alpha$ является концом двух соседних отрезков, в качестве I_0 выберем правый отрезок.

Числовая прямая, разделенная целочисленными точками.png

Если обозначить целое неотрицательное число, являющееся левым концом отрезка I_0 , через a_0 , то можно записать:

$I_0 = [a_0 \, ; \, a_0 + 1]$

I_0

На следующем шаге разделим отрезок на десять равных частей точками

$a_0 + b/10, \; b = 1, \ldots, 9$

и рассмотрим тот из отрезков длины 1/10 , на котором лежит точка $\alpha$ ; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков опять выберем правый.

Построение десятичного представления числа, этап 1.png

I_1

Обозначим этот отрезок . Он имеет вид:

$I_1 = \left [ a_0 + \frac<a_1> \, ; \, a_0 + \frac \right ]» width=»» height=»» /> <img decoding=$

Будем продолжать аналогичным образом процесс измельчения числовой прямой и последовательного уточнения положения точки .

На очередном шаге, имея отрезок I_<n-1>» width=»» height=»» />, содержащий точку <img decoding= , мы делим его на десять равных отрезков и выбираем из них тот отрезок I_<n>» width=»» height=»» />, на котором лежит точка <img decoding= ; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков выбираем правый.

$I_0, I_1, \ldots$

Продолжая этот процесс мы получим последовательность отрезков вида

$I_n = \left [ a_0 + \frac + \ldots + \frac \, ; \, a_0 + \frac + \ldots + \frac + \frac \right]» width=»» height=»» /> где <img decoding=$ — целое неотрицательное, а $a_1, a_2, \ldots$ — целые числа, удовлетворяющие неравенству $0 \leqslant a_k \leqslant 9$ .

$I_0, I_1, \ldots$

Построенная последовательность отрезков обладает следующими свойствами:

Отрезки последовательно вложены друг в друга: $I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset \ldots$
Длина отрезков $|I_n| = 10^<-n>, \; n = 0, 1, 2, \ldots» width=»» height=»» /></li> <li>Точка <img decoding=$ принадлежит всем отрезкам последовательности

Из этих условий следует, что $I_0, I_1, \ldots$ есть система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю при $n \to \infty$ , а точка $\alpha$ есть общая точка всех отрезков системы. Отсюда вытекает, что последовательность левых концов отрезков сходится к точке $\alpha$ (аналогичное утверждение справледливо и для последовательности правых концов), то есть

$a_0 + \frac<a_1> + \ldots + \frac \to \alpha» width=»» height=»» /> при <img decoding=$

Это значит, что ряд

$\sum_<k=0> ^ <\infty>a_k \cdot 10^» width=»» height=»» /> <img decoding=$

сходится к числу , и таким образом, десятичная дробь

$a_0, a_<1> a_ \ldots» width=»» height=»» /> является представлением числа . Таким образом, найдено разложение неотрицательного числа в десятичную дробь. Полученная десятичная дробь является бесконечной по построению. При этом может оказаться, что начиная с некоторого номера, все десятичные знаки после запятой суть нули, то есть дробь имеет вид <img decoding=$

$\alpha$

Нетрудно видеть, что эта возможность имеет место в том случае, когда на некотором шаге точка совпадает с одной из точек деления числовой прямой. В этом случае отбрасывая в сумме

$\sum_<k=0> ^ <\infty>a_k \cdot 10^» width=»» height=»» /> <img decoding=$

нулевые слагаемые, получим, что число также может быть представлено конечной десятичной дробью

$a_0, a_1 \ldots a_n$

$\alpha$

Вообще, ясно, что приписывая в конец десятичной дроби после запятой любое количество нулей (в том числе бесконечное), мы не изменяем значение дроби. Таким образом, в данном случае число может быть представлено как конечной, так и бесконечной десятичной дробью (полученной из первой приписыванием бесконечного числа нулей).

Тем самым рассмотрен случай неотрицательного . В случае отрицательного , в качестве десятичного представления этого числа можно взять представление противоположного ему положительного числа, взятое со знаком «минус».

Приведенный алгоритм дает способ разложения произвольного действительного числа в десятичную дробь. Тем самым доказана следующая

Теорема. Всякое действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби.

О роли аксиомы Архимеда

Приведенный алгоритм разложения действительного числа в десятичную дробь существенно опирается на свойство системы действительных чисел, называемое аксиомой Архимеда.

Это свойство было использовано дважды в алгоритме. В самом начале построения выбиралось целое a_0 , такое, что действительное число $\alpha$ находится между a_0 и следующим целым a_0 + 1 :

$a_0 \leqslant \alpha < a_0 + 1, \; a_0 \in \mathbb<Z> » width=»» height=»» /> Однако существование такого целого числа <img decoding=$ надо еще доказать: нельзя исключать, например, возможность, когда, каково бы ни было целое , всегда имеет место неравенство $n \leqslant \alpha$ . Если бы этот случай имел место, то, очевидно, нужного числа a_0 не нашлось бы.

Эта возможность как раз исключается аксиомой Архимеда, согласно которой каково бы ни было число $\alpha$ , всегда найдётся целое такое, что $n >\alpha» width=»» height=»» />. Теперь среди чисел <img decoding=$ возьмём наименьшее, обладающее свойством $k >\alpha» width=»» height=»» />. Тогда <img decoding=$

a_0 = k-1

Искомое число найдено: .

$I_0, I_1, I_2, \ldots$

Второй раз аксиома Архимеда неявно использовалась при доказательстве стремления к нулю длин отрезков последовательности :

$\lim_<n \to \infty> 10^ = 0″ width=»» height=»» /> Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение <img decoding=$ превзойдёт его, начиная с некоторого номера. А поскольку для всякого имеет место неравенство

10^n >
 n» width=»» height=»» />
то последовательность <img decoding= также превзойдёт , начиная с того же номера. В соответствии с определением предела числовой последовательности, это означает, что $\lim_<n \to \infty>10^ = \infty» width=»» height=»» />. <h4>Неоднозначность представления в виде десятичной дроби</h4> С помощью приведённого алгоритма мы можем для любого действительного числа построить десятичную дробь, представляющую данное число. Однако может случиться, что это же самое число может быть представлено в виде десятичной дроби и другим образом. Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будет получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число. Однако, если даже считать дроби, полученные путём приписывания в конец друг другу конечного или бесконечного количества нулей, тождественными, представление некоторых действительных чисел всё же остаётся неединственным. Рассмотрим например, десятичную дробь <img decoding=$

Согласно определению, эта дробь является представлением числа $0 + 9/10 + 9/100 + \ldots = 1$ . Вместе с тем, это число может быть также представлено в виде десятичной дроби $1,00\ldots$ .

Этот пример можно обобщить. Можно показать, что дроби

$\pm a_0,a_1 \ldots a_<n-1> a_n 999 \ldots» width=»» height=»» /> <img decoding=$

где , представляют одно и то же действительное число.

Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. При этом мы, конечно, не рассматриваем тривиальные случаи дробей, полученными приписыванием нулей в конец друг другу, а также пару дробей $+ 0, 00 \ldots$ и $- 0, 00 \ldots$ .

Эти результаты можно суммировать в следующей теореме.

Теорема. Всякое действительное число $\alpha$ , не представимое в виде , где — целое, — целое неотрицательное, допускает единственное представление в виде десятичной дроби; при этом эта дробь является бесконечной.

Всякое действительное число вида $\alpha = p/10^s$ может быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом. Если $\alpha \neq 0$ , то оно может быть представлено как в виде конечной десятичной дроби, а также бесконечной дроби, полученной приписыванием нулей в конец после запятой, так и в виде бесконечной дроби, оканчивающейся на $999 \ldots$ . Число $\alpha = 0$ может быть представлено дробями вида $+0, 00 \ldots$ , а также дробями вида $-0, 00 \ldots$ .

$999\ldots$

Замечание. Бесконечные дроби, оканчивающиеся на , получаются, если в приведённом выше алгоритме всегда выбирать левый отрезок вместо правого.

Лишние нули и погрешность

Основная статья: Округление

Следует отметить, что, с точки зрения погрешности, запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.

Принято считать, что, если погрешность не указана, то абсолютная погрешность равна плюс-минус половина [источник не указан 550 дней] единицы последнего написанного разряда. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна ±0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна ±0,0005. Другие примеры:

«25» — абсолютная погрешность равна ±0,5 ;
«25,0» — абсолютная погрешность равна ±0,05
«25,00» — абсолютная погрешность равна ±0,005 .

Периодические десятичные дроби

Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид

$\pm a_0, a_1 \ldots a_m \underbrace \underbrace \ldots» width=»» height=»» /> Такую дробь принято кратко записывать в виде <img decoding=$

$b_1 \ldots b_l$

Повторяющаяся группа цифр называется периодом дроби, количество цифр в этой группе — длиной периода.

Если в периодической дроби период следует сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической. Если же между запятой и первым периодом имеются цифры, дробь называется смешанной периодической, а группа цифр после запятой до первого знака периода — предпериодом дроби. Например, дробь $1,(23) = 1,2323 \ldots$ является чистой периодической, а дробь $0,1(23)=0,12323 \ldots$ — смешанной периодической.

Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляют рациональные числа. Точнее, имеет место следующее предложение.

Теорема. Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.

Можно показать, что чисто периодические дроби соответствуют рациональным числам, в записи которых в виде несократимой дроби p/q знаменатель не имеет простых делителей и , а также рациональным числам p/q , у которых знаменатель имеет только простые делители и . Соответственно, смешанные периодические дроби соответствуют несократимым дробям p/q , знаменатель которых имеет как простые делители или , так и отличные от них.

Перевод из десятичной дроби в обыкновенную

Предположим, что дана периодическая десятичная дробь x=0,(1998) с периодом 4. Заметим, что домножив её на 10^4 = 10000 , получим большую дробь 10000x=1998,(1998) с теми же цифрами после запятой. Отняв целую часть, получаем [2] : $10000x-1998=x \Rightarrow x=\frac<1998>=\frac» width=»» height=»» /> <h3>Произношение десятичных дробей</h3> В русском языке десятичные дроби читаются так: сначала произносится целая часть, потом слово «целых» («целая»), потом дробная часть так, как если бы всё число состояло только из этой части, то есть числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т. д.), а знаменатель — порядковое числительное (седьмая, сотая, двести тридцатая и т. д.). Однако на практике часто встречается такое произношение: целая часть, союз «и», дробная часть. <table >Примеры <tr> <th>числовая запись</th> <th>верное произношение</th> <th>неверное произношение</th> </tr> <tr> <td>123,567</td> <td>сто двадцать три целых пятьсот шестьдесят семь тысячных</td> <td>сто двадцать три и пятьсот шестьдесят семь</td> </tr> <tr> <td>1,5</td> <td>одна целая пять десятых (полтора)</td> <td>один и пять</td> </tr> <tr> <td>0,01</td> <td>одна сотая</td> <td>ноль и ноль один</td> </tr> </table> <h3>История</h3> Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную [3] . Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше [4] . В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585). <h3>См. также</h3> <ul> <li>Обыкновенная дробь</li> <li>Десятичная система счисления</li> <li>Десятичный разделитель</li> </ul> <h3>Примечания</h3> <ol> <li>↑Знак запятой «<img decoding=$ » — десятичная запятая (англ.decimal comma ) — как разделитель целой и дробной частей десятичной дроби принят в России, европейских странах (кроме Великобритании и Ирландии) и многих других странах, на которые они имели культурное влияние. В англоязычных странах и странах, на которые они имели влияние, для этого используется знак точки «» — десятичная точка (англ.decimal point ), а знак запятой используется для группировки цифр целой части числа по три десятичных разряда (так называемый разделитель групп разрядов, в России для этого используется знак неразрывного пробела «»). Например, дробь $\frac<100~000~000>» width=»» height=»» /> в десятичной записи в российском стандарте будет выглядеть так: <img decoding=$

История открытия десятичных дробей полна неожиданностей. Ученые разных стран приходили к сходных выводам и расчетам независимо друг от друга, что свидетельствует о важности дробей не только для математического познания, но и для практических нужд людей.

Немного истории

Впервые десятичные дроби появились в Древнем Китае в III веке до нашей эры. Эти знания были неизвестны в арабском и европейском мире. Только в ХV веке самаркандский астроном Джемшид аль-Каши изложил правила действия с десятичными дробями в сочинении «Ключ к арифметике». В Европе сведения о дробях появились еще позже, в ХVI веке, благодаря труду голландского ученого С. Стевина «Десятая». В то время десятичные дроби записывались не так, как сейчас. Для указания дробной части использовалось число 0, обведенное кружком. В Англии и США вместо запятой использовалась точка, запятая стала применяться только в начале ХVII века. В России впервые учение о десятичных дробях изложил Л. Ф. Магницкий в книге «Арифметика» в 1703 года.

Что такое десятичная дробь

Десятичные дроби – это результат преобразования обыкновенной дроби: деления числителя на знаменатель. Например: 1 : 2 = 1/2 = 0,5.

Десятичные дроби – такие дроби, которые записываются в строчку через запятую. Они бывают конечные и бесконечные. В конечной десятичной дроби количество цифр после запятой точно определено. В бесконечной десятичной дроби число цифр после запятой бесконечно. Для удобства эти цифры обычно округляют до 1, 2, 3 после запятой.

Полезная информация о десятичных дробях

Метрология	Зарождение и развитие учения о десятичных дробях в странах Азии было связано с метрологией – наукой о мерах длины, веса и объема.
Шестидесятиричные дроби	До появления десятичных дробей в арабских государствах существовали шестидесятиричные дроби.
«Попасть в дроби»	Учение о дробях считается самым трудным разделом арифметики. До настоящего времени у немцев осталась поговорка «попасть в дроби», то есть «оказаться в затруднительном положении».

Свойства десятичной дроби

Главным свойством десятичной дроби является следующее: величина десятичной дроби не изменится, если слева или справа добавить или удалить любое количество нулей.

6,15 = 6,1500 = 006,15

Поскольку десятичные дроби тесно связаны с обыкновенными дробями, существуют свойства, их объединяющие.

Если числитель обыкновенной дроби меньше знаменателя, то целая часть десятичной дроби меньше нуля.
2/3 = 0,67
Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби.
3 2 /₅ = 3,4
Количество цифр после запятой в десятичной дроби зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби: если одна цифра, то делитель – 10, если две цифры, то делитель – 100.
4/5 = 0,8 и 4/55 = 0,07

это интересно
Простые числа
Что важно знать о простых числах и их особенностях

Разряды десятичной дроби

В десятичной дроби значение каждой цифры зависит от ее позиции Названия разрядов в десятичной дроби до запятой совпадают с названиями разрядов в натуральных числах (единицы, десятки, сотни и так далее). Первая цифра после запятой означает количество десятых долей. Вторая цифра после запятой – число сотых долей. Третья цифра – число тысячных долей.

Десятичные дроби можно также раскладывать по разрядам натуральных чисел.

36,85 = 30 + 6 + 0,8 + 0,05
или
36,85 = 36 + 0,85

Умножение десятичных дробей

Умножать десятичные дроби следует так же, как и другие числа, главное – правильно поставить запятую в ответе.

Если нужно перемножить дроби с разными знаками, действует общее правило: плюс на плюс дает плюс, минус на плюс дает минус, минус на минус дает плюс.

Чтобы умножить десятичные дроби в столбик, следует умножить их друг на друга как целые числа, сложить количество знаков после запятой у каждой дроби, отсчитать полученное количество знаков справа налево и поставить запятую.

Умножение десятичной дроби на натуральное число производится так же, как и умножение между десятичными дробями. Если нужно умножить на 10 или 100, переносим запятую в дроби вправо на столько знаков, сколько нулей содержится во втором множителе. При умножении на 0,1 или 0,01 переносим запятую в дроби влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей во втором множителе.

Если нужно умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, можно действовать двумя способами: перевести десятичную дробь в обыкновенную и затем перемножить или перевести обыкновенную дробь в десятичную и выполнить действие.

Примеры

Умножение десятичной дроби в столбик

Конечные и бесконечные десятичные дроби

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Конечной десятичной дробью (десятичной дробью) называют дробь или смешанное число, имеющее знаменатель 10, 100, 1000, 10000 и т.д.

К десятичным дробям относят также и такие дроби, которые можно привести к дробям, имеющим знаменатель 10, 100, 1000, 10000 и т.д., с помощью основного свойства дробей.

УТВЕРЖДЕНИЕ . Несократимая простая дробь или несократимое смешанное нецелое число являются конечной десятичной дробью тогда и только тогда, когда разложение их знаменателей на простые множители содержит в качестве множителей лишь числа 2 и 5 , причем в произвольных степенях.

Для десятичных дробей существует специальный способ записи, использующий запятую. Слева от запятой записывается целая часть дроби, а справа – числитель дробной части, перед которым дописывается такое количество нулей, чтобы число цифр после запятой было равно числу нулей в знаменателе десятичной дроби.

Заметим, что десятичная дробь не изменится, если приписать несколько нулей справа или слева от неё.

3,14 = 3,140 = 3,1400 = 003,14 .

Цифры, стоящие перед запятой (слева от запятой) в десятичной записи конечной десятичной дроби, образуют число, которое называют целой частью десятичной дроби.

Цифры, стоящие после запятой (справа от запятой) в десятичной записи конечной десятичной дроби, называют десятичными знаками.

В конечной десятичной дроби конечное число десятичных знаков. Десятичные знаки формируют дробную часть десятичной дроби.

Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т.д.

Для того, чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, 10000 и т.д., достаточно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, 4 и т.д. десятичных знаков соответственно.

Для того, чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, 10000 и т.д., достаточно перенести запятую влево на 1, 2, 3, 4 и т.д. десятичных знаков соответственно.

Обращение конечной десятичной дроби в простую дробь

Обращение конечной десятичной дроби в простую дробь осуществляется очень просто, например,

Справочник по математике для школьников

Арифметика
Алгебра
Тригонометрия
Геометрия (планиметрия)
Геометрия (стереометрия)
Элементы математического анализа
Вероятность и статистика

Арифметика

Арифметика целых чисел
- Целые числа. Десятичная система счисления
- Арифметика. Арифметические действия
- Делимость натуральных чисел. Деление с остатком. Признаки делимости
- Простые и составные числа
- Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
- Наименьшее общее кратное
- Дробь. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
- Сравнение дробей
- Действия с дробями и смешанными числами
- Конечные и бесконечные десятичные дроби
- Бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби
- Арифметические действия с дробями, выраженными в различных формах
- Стандартная форма записи числа
- Вещественные числа, рациональные и иррациональные числа
- Проценты. Решение задач на проценты
- Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки
- Пропорции, члены пропорции. Основное свойство пропорции
- Прямо пропорциональные и обратно пропорциональные величины
- Золотое отношение (золотое сечение)
- Таблицы квадратов натуральных чисел от 1 до 100
- Таблицы кубов натуральных чисел от 1 до 100
- Таблицы степеней от 2-ой до 10-ой для натуральных чисел от 1 до 25
- Таблицы произведений натуральных чисел от 1 до 20
- Таблица простых чисел от 1 до 10000
- Латинский алфавит
- Греческий алфавит
Учебные пособия для школьников
- Задачи на проценты
- Квадратный трехчлен
- Метод координат на плоскости
- Прогрессии
- Решение алгебраических уравнений
- Решение иррациональных неравенств
- Решение логарифмических неравенств
- Решение логарифмических уравнений
- Решение показательных неравенств
- Решение показательных уравнений
- Решение рациональных неравенств
- Решение тригонометрических уравнений
- Степень с рациональным показателем
- Системы уравнений
- Тригонометрия в ЕГЭ по математике
- Уравнения и неравенства с модулями
- Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами
Похожие публикации:

Что такое конечная десятичная дробь

Бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби

Алгоритм обращения бесконечной периодической десятичной дроби в простую дробь

Десятичная дробь

Соглашения о записи десятичных дробей

Конечные и бесконечные десятичные дроби

Конечные дроби

Бесконечные дроби

О роли аксиомы Архимеда

Лишние нули и погрешность

Периодические десятичные дроби

Перевод из десятичной дроби в обыкновенную

Что такое десятичная дробь

Полезная информация о десятичных дробях

Свойства десятичной дроби

Разряды десятичной дроби

Умножение десятичных дробей

Примеры

Конечные и бесконечные десятичные дроби

Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т.д.

Обращение конечной десятичной дроби в простую дробь

Справочник по математике для школьников

Арифметика

Учебные пособия для школьников

Добавить комментарий Отменить ответ