Что такое конечная десятичная дробь
Перейти к содержимому

Что такое конечная десятичная дробь

  • автор:

Бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби

В десятичной записи конечной десятичной дроби после запятой стоит конечное число десятичных знаков.

В десятичной записи бесконечной десятичной дроби после запятой стоит бесконечное число десятичных знаков.

Бесконечные десятичные дроби бывают периодическими и непериодическими.

Бесконечной периодической десятичной дробью называют такую дробь, десятичные знаки которой, начиная с некоторого, представляют собой повторение одной и той же группы цифр, состоящей или из одной цифры, отличной от 0 и 9 , или из нескольких цифр, причем последовательность цифр при повторении в этой группе не изменяется.

Повторяющаяся группа цифр называется периодом бесконечной периодической десятичной дроби.

Для обозначения периода десятичной дроби используют круглые скобки.

2,616161… = 2,(61) ; 53222222… = 5,3(2) .

ЗАМЕЧАНИЕ . Еще раз подчеркнем, что период бесконечной десятичной дроби не может состоять из одной или нескольких цифр 0 и не может состоять из одной или нескольких цифр 9 .

Бесконечная десятичная дробь, не являющаяся периодической, называется непериодической.

Алгоритм обращения бесконечной периодической десятичной дроби в простую дробь

Разберем алгоритм обращения бесконечной периодической десятичной дроби в простую дробь на примере решений следующих задач.

ЗАДАЧА 1 . Обратить периодическую дробь

в простую дробь.

РЕШЕНИЕ . Если ввести обозначение

то, умножив это соотношение на 100 , получим:

100x – x = 99 x = 45,0000… = 45.

ЗАДАЧА 2 . Обратить периодическую дробь

в простую дробь.

РЕШЕНИЕ . Если ввести обозначение

то, умножив это соотношение на 10 , получим:

Десятичная дробь

\pm d_m \ldots d_1 d_0, d_<-1></p> <p> d_ \ldots» width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-2' style='margin: 8px 0; clear: both;'> <!-- 2electronika54 --> <script src=

\pm— знак дроби: либо +, либо -, ,— десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа (российский стандарт) [1] , d_k— десятичные цифры. Причём последовательность цифр до запятой (слева от неё) конечна (как минимум одна цифра), а после запятой (справа от неё) — может быть как конечной (в частности, цифры после запятой могут вообще отсутствовать), так и бесконечной.

  • 123,45(конечная десятичная дробь)
  • Представление числа \pi в виде бесконечной десятичной дроби: 3,1415926535897.

\pm d_m \ldots d_1 d_0, d_<-1></p> <p>Значением десятичной дроби d_ \ldots» width=»» height=»» /> является действительное число</p> <p><img decoding=

что совпадает с записью этого числа в десятичной системе счисления.

Соглашения о записи десятичных дробей

Обычно в полной записи десятичной дроби

\pm d_m \ldots d_1 d_0, d_<-1></p><div class='code-block code-block-3' style='margin: 8px 0; clear: both;'> <!-- 3electronika54 --> <script src=

d_ \ldots» width=»» height=»» />

a_0

последовательность цифр до запятой объединяют в одно неотрицательное целое , десятичной записью которого эта последовательность цифр является, то есть

a_0 = \sum_<k=0></p> <p>^ d_k \cdot 10^k» width=»» height=»» /></p> <p>и саму десятичную дробь записывают в сокращенной форме</p> <p> <img decoding=

в которой, кроме того, знаки после запятой для удобства перенумерованы положительными индексами. Десятичная дробь, записанная в сокращённой форме, является представлением действительного числа

\pm \sum_<k=0></p> <p>^ <\infty>a_k \cdot 10^» width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-4' style='margin: 8px 0; clear: both;'> <!-- 4electronika54 --> <script src=

+

Знак («плюс») перед дробью обычно опускают.

Конечные и бесконечные десятичные дроби

Конечные дроби

Десятичная дробь называется конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (в частности, ни одного), то есть имеет вид

\pm a_0,a_1 a_2 \ldots a_n

В соответствии с определением эта дробь представляет число

\pm \sum_<k=0></p> <p>^ a_k \cdot 10^» width=»» height=»» /></p> <p>Легко видеть, что это число можно представить в виде обыкновенной дроби вида <img decoding=— целое, а s— целое неотрицательное, можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Если обыкновенную дробь p/10^<s>» width=»» height=»» /> привести к несократимому виду, ее знаменатель будет иметь вид <img decoding=знаменатель qне имеет простых делителей, отличных от 2и 5.

Бесконечные дроби

Бесконечная десятичная дробь

\pm a_0, a_<1></p> <p> a_ \ldots» width=»» height=»» /></p> <p>представляет, согласно определению, действительное число</p> <p><img decoding=и десятичные цифры a_1, a_2, \ldots. Это предложение вытекает из того факта, что данный ряд мажорируется сходящимся рядом

a_0 + \sum_<k=1></p> <p>^ <\infty>9 \cdot 10^» width=»» height=»» /></p> <h3>Представление действительных чисел десятичными дробями</h3> <p>Таким образом, всякая конечная или бесконечная десятичная дробь представляет некоторое вполне определённое действительное число. Остаются следующие вопросы:</p><div class='code-block code-block-6' style='margin: 8px 0; clear: both;'> <!-- 6electronika54 --> <script src=

  1. Всякое ли действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби?
  2. Единственно ли такое представление?
  3. Каков алгоритм разложения числа в десятичную дробь?

Эти вопросы освещаются ниже.

Алгоритм разложения числа в десятичную дробь

\alpha

Ниже описывается алгоритм построения по произвольному действительному числу десятичной дроби, которая является его представлением.

Рассмотрим вначале случай \alpha \geqslant 0. Разделим всю числовую прямую целочисленными точками на отрезки единичной длины. Рассмотрим тот отрезок I_0, который содержит точку \alpha; в частном случае, когда точка \alphaявляется концом двух соседних отрезков, в качестве I_0выберем правый отрезок.

Числовая прямая, разделенная целочисленными точками.png

Если обозначить целое неотрицательное число, являющееся левым концом отрезка I_0, через a_0, то можно записать:

I_0 = [a_0 \, ; \, a_0 + 1]

I_0

На следующем шаге разделим отрезок на десять равных частей точками

a_0 + b/10, \; b = 1, \ldots, 9

и рассмотрим тот из отрезков длины 1/10, на котором лежит точка \alpha; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков опять выберем правый.

Построение десятичного представления числа, этап 1.png

I_1

Обозначим этот отрезок . Он имеет вид:

I_1 = \left [ a_0 + \frac<a_1></p> <p> \, ; \, a_0 + \frac \right ]» width=»» height=»» /></p> <p><img decoding=

Будем продолжать аналогичным образом процесс измельчения числовой прямой и последовательного уточнения положения точки .

На очередном шаге, имея отрезок I_<n-1>» width=»» height=»» />, содержащий точку <img decoding=, мы делим его на десять равных отрезков и выбираем из них тот отрезок I_<n>» width=»» height=»» />, на котором лежит точка <img decoding=; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков выбираем правый.

I_0, I_1, \ldots

Продолжая этот процесс мы получим последовательность отрезков вида

I_n = \left [ a_0 + \frac</p> <p> + \ldots + \frac \, ; \, a_0 + \frac + \ldots + \frac + \frac \right]» width=»» height=»» /></p> <p>где <img decoding=— целое неотрицательное, а a_1, a_2, \ldots— целые числа, удовлетворяющие неравенству 0 \leqslant a_k \leqslant 9.

I_0, I_1, \ldots

Построенная последовательность отрезков обладает следующими свойствами:

Из этих условий следует, что I_0, I_1, \ldotsесть система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю при n \to \infty, а точка \alphaесть общая точка всех отрезков системы. Отсюда вытекает, что последовательность левых концов отрезков сходится к точке \alpha(аналогичное утверждение справледливо и для последовательности правых концов), то есть

a_0 + \frac<a_1> + \ldots + \frac \to \alpha» width=»» height=»» /> при <img decoding=

Это значит, что ряд

\sum_<k=0></p> <p>^ <\infty>a_k \cdot 10^» width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-9' style='margin: 8px 0; clear: both;'> <!-- 9electronika54 --> <script src=

\alpha

сходится к числу , и таким образом, десятичная дробь

a_0, a_<1></p> <p> a_ \ldots» width=»» height=»» /></p> <p>является представлением числа . Таким образом, найдено разложение неотрицательного числа в десятичную дробь.</p> <p>Полученная десятичная дробь является бесконечной по построению. При этом может оказаться, что начиная с некоторого номера, все десятичные знаки после запятой суть нули, то есть дробь имеет вид</p> <p> <img decoding=

\alpha

Нетрудно видеть, что эта возможность имеет место в том случае, когда на некотором шаге точка совпадает с одной из точек деления числовой прямой. В этом случае отбрасывая в сумме

\sum_<k=0></p><div class='code-block code-block-10' style='margin: 8px 0; clear: both;'> <!-- 10electronika54 --> <script src=

^ <\infty>a_k \cdot 10^» width=»» height=»» />

\alpha

нулевые слагаемые, получим, что число также может быть представлено конечной десятичной дробью

a_0, a_1 \ldots a_n

\alpha

Вообще, ясно, что приписывая в конец десятичной дроби после запятой любое количество нулей (в том числе бесконечное), мы не изменяем значение дроби. Таким образом, в данном случае число может быть представлено как конечной, так и бесконечной десятичной дробью (полученной из первой приписыванием бесконечного числа нулей).

Тем самым рассмотрен случай неотрицательного . В случае отрицательного , в качестве десятичного представления этого числа можно взять представление противоположного ему положительного числа, взятое со знаком «минус».

Приведенный алгоритм дает способ разложения произвольного действительного числа в десятичную дробь. Тем самым доказана следующая

Теорема. Всякое действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби.

О роли аксиомы Архимеда

Приведенный алгоритм разложения действительного числа в десятичную дробь существенно опирается на свойство системы действительных чисел, называемое аксиомой Архимеда.

Это свойство было использовано дважды в алгоритме. В самом начале построения выбиралось целое a_0, такое, что действительное число \alphaнаходится между a_0и следующим целым a_0 + 1:

a_0 \leqslant \alpha < a_0 + 1, \; a_0 \in \mathbb<Z></p> <p>» width=»» height=»» /></p> <p>Однако существование такого целого числа <img decoding=надо еще доказать: нельзя исключать, например, возможность, когда, каково бы ни было целое n, всегда имеет место неравенство n \leqslant \alpha. Если бы этот случай имел место, то, очевидно, нужного числа a_0не нашлось бы.

Эта возможность как раз исключается аксиомой Архимеда, согласно которой каково бы ни было число \alpha, всегда найдётся целое nтакое, что n >\alpha» width=»» height=»» />. Теперь среди чисел <img decoding=возьмём наименьшее, обладающее свойством k >\alpha» width=»» height=»» />. Тогда</p> <p> <img decoding=

a_0 = k-1

Искомое число найдено: .

I_0, I_1, I_2, \ldots

Второй раз аксиома Архимеда неявно использовалась при доказательстве стремления к нулю длин отрезков последовательности :

\lim_<n \to \infty></p> <p> 10^ = 0″ width=»» height=»» /></p> <p>Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение</p> <p><img decoding=превзойдёт его, начиная с некоторого номера. А поскольку для всякого nимеет место неравенство

10^n ></p> <p> n» width=»» height=»» /></p> <p>то последовательность <img decoding=также превзойдёт E, начиная с того же номера. В соответствии с определением предела числовой последовательности, это означает, что \lim_<n \to \infty>10^ = \infty» width=»» height=»» />.</p> <h4>Неоднозначность представления в виде десятичной дроби</h4> <p>С помощью приведённого алгоритма мы можем для любого действительного числа построить десятичную дробь, представляющую данное число. Однако может случиться, что это же самое число может быть представлено в виде десятичной дроби и другим образом.</p> <p>Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будет получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число.</p><div class='code-block code-block-13' style='margin: 8px 0; clear: both;'> <!-- 13electronika54 --> <script src=

Однако, если даже считать дроби, полученные путём приписывания в конец друг другу конечного или бесконечного количества нулей, тождественными, представление некоторых действительных чисел всё же остаётся неединственным.

Рассмотрим например, десятичную дробь

0,99\ldots

Согласно определению, эта дробь является представлением числа 0 + 9/10 + 9/100 + \ldots = 1. Вместе с тем, это число может быть также представлено в виде десятичной дроби 1,00\ldots.

Этот пример можно обобщить. Можно показать, что дроби

\pm a_0,a_1 \ldots a_<n-1></p> <p> a_n 999 \ldots» width=»» height=»» /></p> <p><img decoding=

где , представляют одно и то же действительное число.

Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. При этом мы, конечно, не рассматриваем тривиальные случаи дробей, полученными приписыванием нулей в конец друг другу, а также пару дробей + 0, 00 \ldotsи - 0, 00 \ldots.

Эти результаты можно суммировать в следующей теореме.

Теорема. Всякое действительное число \alpha, не представимое в виде p/10^s, где p— целое, s— целое неотрицательное, допускает единственное представление в виде десятичной дроби; при этом эта дробь является бесконечной.

Всякое действительное число вида \alpha = p/10^sможет быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом. Если \alpha \neq 0, то оно может быть представлено как в виде конечной десятичной дроби, а также бесконечной дроби, полученной приписыванием нулей в конец после запятой, так и в виде бесконечной дроби, оканчивающейся на 999 \ldots. Число \alpha = 0может быть представлено дробями вида +0, 00 \ldots, а также дробями вида -0, 00 \ldots.

999\ldots

Замечание. Бесконечные дроби, оканчивающиеся на , получаются, если в приведённом выше алгоритме всегда выбирать левый отрезок вместо правого.

Лишние нули и погрешность

Основная статья: Округление

Следует отметить, что, с точки зрения погрешности, запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.

Принято считать, что, если погрешность не указана, то абсолютная погрешность равна плюс-минус половина [источник не указан 550 дней] единицы последнего написанного разряда. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна ±0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна ±0,0005. Другие примеры:

Периодические десятичные дроби

Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид

\pm a_0, a_1 \ldots a_m \underbrace</p> <p> \underbrace \ldots» width=»» height=»» /></p> <p>Такую дробь принято кратко записывать в виде</p> <p> <img decoding=

b_1 \ldots b_l

Повторяющаяся группа цифр называется периодом дроби, количество цифр в этой группе — длиной периода.

Если в периодической дроби период следует сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической. Если же между запятой и первым периодом имеются цифры, дробь называется смешанной периодической, а группа цифр после запятой до первого знака периода — предпериодом дроби. Например, дробь 1,(23) = 1,2323 \ldotsявляется чистой периодической, а дробь 0,1(23)=0,12323 \ldots— смешанной периодической.

Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляют рациональные числа. Точнее, имеет место следующее предложение.

Теорема. Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.

Можно показать, что чисто периодические дроби соответствуют рациональным числам, в записи которых в виде несократимой дроби p/qзнаменатель qне имеет простых делителей 2и 5, а также рациональным числам p/q, у которых знаменатель qимеет только простые делители 2и 5. Соответственно, смешанные периодические дроби соответствуют несократимым дробям p/q, знаменатель qкоторых имеет как простые делители 2или 5, так и отличные от них.

Перевод из десятичной дроби в обыкновенную

Предположим, что дана периодическая десятичная дробь x=0,(1998)с периодом 4. Заметим, что домножив её на 10^4 = 10000, получим большую дробь 10000x=1998,(1998)с теми же цифрами после запятой. Отняв целую часть, получаем [2] : 10000x-1998=x \Rightarrow x=\frac<1998>=\frac» width=»» height=»» /></p> <h3>Произношение десятичных дробей</h3> <p>В русском языке десятичные дроби читаются так: сначала произносится целая часть, потом слово «целых» («целая»), потом дробная часть так, как если бы всё число состояло только из этой части, то есть числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т. д.), а знаменатель — порядковое числительное (седьмая, сотая, двести тридцатая и т. д.).</p> <p>Однако на практике часто встречается такое произношение: целая часть, союз «и», дробная часть.</p> <table >Примеры </p> <tr> <th>числовая запись</th> <th>верное произношение</th> <th>неверное произношение</th> </tr> <tr> <td>123,567</td> <td>сто двадцать три целых пятьсот шестьдесят семь тысячных</td> <td>сто двадцать три и пятьсот шестьдесят семь</td> </tr> <tr> <td>1,5</td> <td>одна целая пять десятых (полтора)</td> <td>один и пять</td> </tr> <tr> <td>0,01</td> <td>одна сотая</td> <td>ноль и ноль один</td> </tr> </table> <h3>История</h3> <p>Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную [3] .</p> <p>Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше [4] .</p> <p>В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585).</p> <h3>См. также</h3> <ul> <li>Обыкновенная дробь</li> <li>Десятичная система счисления</li> <li>Десятичный разделитель</li> </ul> <h3>Примечания</h3> <ol> <li><b>↑</b><i>Знак запятой</i> «<img decoding=» — десятичная запятая (англ.decimal comma ) — как разделитель целой и дробной частей десятичной дроби принят в России, европейских странах (кроме Великобритании и Ирландии) и многих других странах, на которые они имели культурное влияние. В англоязычных странах и странах, на которые они имели влияние, для этого используется знак точки «.» — десятичная точка (англ.decimal point ), а знак запятой используется для группировки цифр целой части числа по три десятичных разряда (так называемый разделитель групп разрядов, в России для этого используется знак неразрывного пробела «~»). Например, дробь \frac<100~000~000>» width=»» height=»» /> в десятичной записи в российском стандарте будет выглядеть так: <img decoding=

История открытия десятичных дробей полна неожиданностей. Ученые разных стран приходили к сходных выводам и расчетам независимо друг от друга, что свидетельствует о важности дробей не только для математического познания, но и для практических нужд людей.

Немного истории

Впервые десятичные дроби появились в Древнем Китае в III веке до нашей эры. Эти знания были неизвестны в арабском и европейском мире. Только в ХV веке самаркандский астроном Джемшид аль-Каши изложил правила действия с десятичными дробями в сочинении «Ключ к арифметике». В Европе сведения о дробях появились еще позже, в ХVI веке, благодаря труду голландского ученого С. Стевина «Десятая». В то время десятичные дроби записывались не так, как сейчас. Для указания дробной части использовалось число 0, обведенное кружком. В Англии и США вместо запятой использовалась точка, запятая стала применяться только в начале ХVII века. В России впервые учение о десятичных дробях изложил Л. Ф. Магницкий в книге «Арифметика» в 1703 года.

Что такое десятичная дробь

Десятичные дроби – это результат преобразования обыкновенной дроби: деления числителя на знаменатель. Например: 1 : 2 = 1/2 = 0,5.

Десятичные дроби – такие дроби, которые записываются в строчку через запятую. Они бывают конечные и бесконечные. В конечной десятичной дроби количество цифр после запятой точно определено. В бесконечной десятичной дроби число цифр после запятой бесконечно. Для удобства эти цифры обычно округляют до 1, 2, 3 после запятой.

Полезная информация о десятичных дробях

Метрология Зарождение и развитие учения о десятичных дробях в странах Азии было связано с метрологией – наукой о мерах длины, веса и объема.
Шестидесятиричные дроби До появления десятичных дробей в арабских государствах существовали шестидесятиричные дроби.
«Попасть в дроби» Учение о дробях считается самым трудным разделом арифметики. До настоящего времени у немцев осталась поговорка «попасть в дроби», то есть «оказаться в затруднительном положении».

Свойства десятичной дроби

Главным свойством десятичной дроби является следующее: величина десятичной дроби не изменится, если слева или справа добавить или удалить любое количество нулей.

6,15 = 6,1500 = 006,15

Поскольку десятичные дроби тесно связаны с обыкновенными дробями, существуют свойства, их объединяющие.

  1. Если числитель обыкновенной дроби меньше знаменателя, то целая часть десятичной дроби меньше нуля.
    2/3 = 0,67
  2. Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби.
    3 2 /5 = 3,4
  3. Количество цифр после запятой в десятичной дроби зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби: если одна цифра, то делитель – 10, если две цифры, то делитель – 100.
    4/5 = 0,8 и 4/55 = 0,07

это интересно
Простые числа
Что важно знать о простых числах и их особенностях

Разряды десятичной дроби

В десятичной дроби значение каждой цифры зависит от ее позиции Названия разрядов в десятичной дроби до запятой совпадают с названиями разрядов в натуральных числах (единицы, десятки, сотни и так далее). Первая цифра после запятой означает количество десятых долей. Вторая цифра после запятой – число сотых долей. Третья цифра – число тысячных долей.

Десятичные дроби можно также раскладывать по разрядам натуральных чисел.

36,85 = 30 + 6 + 0,8 + 0,05
или
36,85 = 36 + 0,85

Умножение десятичных дробей

Умножать десятичные дроби следует так же, как и другие числа, главное – правильно поставить запятую в ответе.

Если нужно перемножить дроби с разными знаками, действует общее правило: плюс на плюс дает плюс, минус на плюс дает минус, минус на минус дает плюс.

Чтобы умножить десятичные дроби в столбик, следует умножить их друг на друга как целые числа, сложить количество знаков после запятой у каждой дроби, отсчитать полученное количество знаков справа налево и поставить запятую.

Умножение десятичной дроби на натуральное число производится так же, как и умножение между десятичными дробями. Если нужно умножить на 10 или 100, переносим запятую в дроби вправо на столько знаков, сколько нулей содержится во втором множителе. При умножении на 0,1 или 0,01 переносим запятую в дроби влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей во втором множителе.

Если нужно умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, можно действовать двумя способами: перевести десятичную дробь в обыкновенную и затем перемножить или перевести обыкновенную дробь в десятичную и выполнить действие.

Примеры

Умножение десятичной дроби в столбик

Конечные и бесконечные десятичные дроби

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Конечной десятичной дробью (десятичной дробью) называют дробь или смешанное число, имеющее знаменатель 10, 100, 1000, 10000 и т.д.

К десятичным дробям относят также и такие дроби, которые можно привести к дробям, имеющим знаменатель 10, 100, 1000, 10000 и т.д., с помощью основного свойства дробей.

УТВЕРЖДЕНИЕ . Несократимая простая дробь или несократимое смешанное нецелое число являются конечной десятичной дробью тогда и только тогда, когда разложение их знаменателей на простые множители содержит в качестве множителей лишь числа 2 и 5 , причем в произвольных степенях.

Для десятичных дробей существует специальный способ записи, использующий запятую. Слева от запятой записывается целая часть дроби, а справа – числитель дробной части, перед которым дописывается такое количество нулей, чтобы число цифр после запятой было равно числу нулей в знаменателе десятичной дроби.

Заметим, что десятичная дробь не изменится, если приписать несколько нулей справа или слева от неё.

3,14 = 3,140 = 3,1400 = 003,14 .

Цифры, стоящие перед запятой (слева от запятой) в десятичной записи конечной десятичной дроби, образуют число, которое называют целой частью десятичной дроби.

Цифры, стоящие после запятой (справа от запятой) в десятичной записи конечной десятичной дроби, называют десятичными знаками.

В конечной десятичной дроби конечное число десятичных знаков. Десятичные знаки формируют дробную часть десятичной дроби.

Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т.д.

Для того, чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, 10000 и т.д., достаточно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, 4 и т.д. десятичных знаков соответственно.

Для того, чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, 10000 и т.д., достаточно перенести запятую влево на 1, 2, 3, 4 и т.д. десятичных знаков соответственно.

Обращение конечной десятичной дроби в простую дробь

Обращение конечной десятичной дроби в простую дробь осуществляется очень просто, например,

Справочник по математике для школьников

Арифметика